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$\eta$ étant le rapport de la demi-circonférence au rayon. Si l’on nomme ensuite $\rho$ la moyenne densité de la Terre, on a, à fort peu près,

$g={\frac {4}{3}}\eta \rho \,;$

on aura donc

${\frac {\mathrm {V} }{g}}={\frac {3}{\rho }}\left(\mathrm {Y_{0}+{\frac {1}{3}}Y_{1}+{\frac {1}{5}}Y_{2}} +\ldots \right).$

La condition de la masse fluide constante donne

$\int yd\mu d\varpi =0,$

les intégrales étant prises depuis $\mu =-1$ jusqu’à $\mu =1$ et depuis $\varpi =0$ jusqu’à $\varpi =360^{\circ }\,;$ mais on a généralement, lorsque $i$ est différent de $i',$

$\int \mathrm {Y} _{i}\mathrm {U} _{i'}d\mu d\varpi =0,$

$\mathrm {U} _{i'}$ étant une fonction de la même nature que $\mathrm {Y} _{i}\,;$ on aura donc

$\int yd\mu d\varpi =\int \mathrm {Y} _{0}d\mu d\varpi =0,$

ce qui donne

$\mathrm {Y} _{0}=0.$

On aura, cela posé,

$y'=\mathrm {\left(1-{\frac {1}{\rho }}\right)Y_{1}+\left(1-{\frac {3}{5\rho }}\right)Y_{2}+\left(1-{\frac {3}{7\rho }}\right)Y_{3}} +\ldots ,$

d’où l’on tire, en vertu du théorème précédent,

$\int y'{\frac {dy}{dt}}d\mu d\varpi$

$=\int d\mu d\varpi \left[\left(1-{\frac {1}{\rho }}\right)\mathrm {Y} _{1}{\frac {d\mathrm {Y} _{1}}{dt}}+\left(1-{\frac {3}{5\rho }}\right)\mathrm {Y} _{2}{\frac {d\mathrm {Y} _{2}}{dt}}+\left(1-{\frac {3}{7\rho }}\right)\mathrm {Y} _{3}{\frac {d\mathrm {Y} _{3}}{dt}}+\ldots \right]\,;$

l’équation (A) donnera donc, en l’intégrant par rapport au temps $t,$

$\int \gamma d\mu d\varpi \left[\left({\cfrac {du}{dt}}\right)^{2}+\left({\cfrac {dv}{dt}}\right)^{2}\left(1-\mu ^{2}\right)\right]$

$=\mathrm {M} -{\frac {g}{l}}\int d\mu d\varpi \left[\mathrm {\left(1-{\frac {1}{\rho }}\right)Y_{1}^{2}+\left(1-{\frac {3}{5\rho }}\right)Y_{2}^{2}+\left(1-{\frac {3}{7\rho }}\right)Y_{3}^{2}} +\ldots \right],$

$\mathrm {M}$ étant une quantité indépendante de $t.$