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c’est de l’intégration de ces trois équations que dépend la théorie des oscillations de la mer.

Si l’on multiplie la seconde par $\gamma {\frac {du}{dt}}$ et qu’on l’ajoute à la troisième, multipliée par $\gamma {\frac {dv}{dt}},$ on aura, en faisant, pour abréger, $y-{\frac {\mathrm {V} }{g}}=y',$

${\frac {d\left[\gamma \left({\cfrac {du}{dt}}\right)^{2}+\gamma \left({\cfrac {dv}{dt}}\right)^{2}\left(1-\mu ^{2}\right)\right]}{dt}}=2g{\frac {\partial y'}{\partial \mu }}\gamma {\frac {du}{dt}}{\sqrt {1-\mu ^{2}}}-2g{\frac {\partial y'}{\partial \varpi }}\gamma {\frac {dv}{dt}}.$

Multiplions maintenant cette équation par $d\mu d\varpi ,$ et prenons les intégrales de ses deux membres depuis $\mu =-1$ jusqu’à $\mu =1$ et depuis $\varpi =0$ jusqu’à $\varpi =360^{\circ }.$ On aura

${\begin{aligned}2g\int &d\mu {\frac {\partial y'}{\partial \mu }}\gamma {\frac {du}{dt}}{\sqrt {1-\mu ^{2}}}\\&=2gy'\gamma {\frac {du}{dt}}{\sqrt {1-\mu ^{2}}}-2g\int d\mu {\frac {\partial \left(\gamma {\cfrac {du}{dt}}{\sqrt {1-\mu ^{2}}}\right)}{\partial \mu }}+\mathrm {C} ,\end{aligned}}$

$\mathrm {C}$ étant une fonction arbitraire indépendante de $\mu .$ Or $y'$ et $u$ ne peuvent être infinis dans aucun point de l’intégrale, en sorte que le terme $2gy'\gamma {\frac {du}{dt}}{\sqrt {1-\mu ^{2}}}$ est nul aux deux extrémités de l’intégrale ; on a donc

$\mathrm {C} =0,$

et, par conséquent.

$2g\int d\mu d\varpi {\frac {\partial y'}{\partial \mu }}\gamma {\frac {du}{dt}}{\sqrt {1-\mu ^{2}}}=-2g\int y'd\mu d\varpi {\frac {\partial \left(\gamma {\cfrac {du}{dt}}{\sqrt {1-\mu ^{2}}}\right)}{\partial \mu }}.$

On a ensuite, en intégrant par rapport à $\varpi ,$

$-2g\int d\varpi {\frac {\partial y'}{\partial \varpi }}\gamma {\frac {dv}{dt}}=-2gy'\gamma {\frac {dv}{dt}}+2g\int y'd\varpi {\frac {\partial \left(\gamma {\cfrac {dv}{dt}}\right)}{\partial \varpi }}+\mathrm {C} ',$

$\mathrm {C} '$ étant une fonction arbitraire indépendante de $\varpi \,;$ or $y',\gamma$ et ${\frac {dv}{dt}}$ étant des fonctions de $\sin \varpi$ et de $\cos \varpi ,$ le terme $-2gy'\gamma {\frac {dv}{dt}}$ est le même aux deux extrémités de l’intégrale, en sorte que $\mathrm {C} '-2gy'\gamma {\frac {dv}{dt}}$ est une