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Il suit de là que, dans l’équation précédente, le premier facteur n’est pas nul à la surface extérieure. Le second facteur $\mathrm {U} _{i}$ est donc nul, ce qui donne

$\mathrm {Y} _{i}=0\quad {\text{pour}}\qquad i\geqq 3.$

L’expression du rayon du sphéroïde terrestre se réduit donc à

$a+\alpha a(Y_{0}+Y_{2}).$

$z_{2}$ est, comme on l’a vu ci-dessus, égal à $-{\frac {g}{2}}\left(\mu ^{2}-{\frac {1}{2}}\right)\,;$ la formule $(b)$ deviendra donc

$(e)\ 0=\left[{\frac {4}{5}}\eta a^{5}\int \rho dh-{\frac {4\eta a^{2}h}{3}}\int \rho da^{3}+{\frac {4\eta }{5}}\int \rho d\left(a^{5}h\right)\right]U_{2}-{\frac {g}{2}}a^{5}\left(\mu ^{2}-{\frac {1}{3}}\right).$

À la surface, l’intégrale $\int \rho dh=0\,;$ on aura donc à cette surface, où $a=1,$

$\mathrm {U} _{2}={\frac {-{\frac {g}{2}}\left(\mu ^{2}-{\frac {1}{3}}\right)}{{\frac {4}{3}}\eta h\int \rho da^{3}-{\frac {4\eta }{5}}\int \rho d\left(a^{5}h\right)}}.$

Soit $\alpha \varphi$ le rapport de la force centrifuge à la pesanteur à l’équateur ; l’expression de la pesanteur étant, aux quantités près de l’ordre $\alpha ,$ égale à ${\frac {4}{3}}\eta \int \rho da^{3},$ on aura

$g={\frac {4\eta }{3}}\varphi \int \rho da^{3},$

partant

$\mathrm {U} _{2}=-{\frac {\varphi \left(\mu ^{2}-{\frac {1}{3}}\right)}{2h-{\cfrac {{\frac {6}{5}}\int \rho d\left(a^{5}h\right)}{\int \rho da^{3}}}}}.$

Le rayon du sphéroïde terrestre, à la surface, sera donc

$1+\alpha \mathrm {Y} _{0}-{\frac {\alpha \varphi h\left(\mu ^{2}-{\frac {1}{3}}\right)}{2h-{\cfrac {{\frac {6}{5}}\int \rho d\left(a^{5}h\right)}{\int \rho da^{3}}}}}.$

On peut comprendre dans la quantité arbitraire que nous avons prise