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SUR LES NAISSANCES, LES MARIAGES.

que la probabilité entière de $p'$ est égale à

${\frac {1.2.3\ldots (p'+q')\int x^{p+p'}dx(1-x)^{q+q'+1}}{1.2.3\ldots p'.1.2.3\ldots q'\int x^{p}dx(1-x)^{q}}},$

les intégrales du numérateur et du dénominateur étant prises depuis $x=0$ jusqu’à $x=1.$

La probabilité que $p'$ est compris depuis $p'=0$ jusqu’à $p'=s$ sera, en vertu de la formule précédente,

${\frac {\int x^{p}dx(1-x)^{q+q'+1}\left[1+(q'+1)x+\ldots +{\frac {(q'+1)(q'+2)\ldots (q'+s)}{1.2.3\ldots s}}x^{s}\right]}{\int x^{p}dx(1-x)^{q}}}$

or, $q'$ et $s$ étant supposés de très grands nombres, on trouvera, par l’analyse que j’ai donnée dans le Volume de 1782, page 60^[1],

$1+(q'+1)x+\ldots +{\frac {(q'+1)\ldots (q'+s)}{1.2.3\ldots s}}x^{s}$

$={\frac {1}{(1-x)^{q'+1}}}{\frac {\int x'^{s}dx'(1-x')^{q'}}{\int x'^{s}dx'(1-x')^{q'}}},$

l’intégrale du numérateur étant prise depuis $x'=x$ jusqu’à $x'=1,$ et celle du dénominateur étant prise depuis $x'=0$ jusqu’à $x'=1\,;$ donc la probabilité que $p'$ est compris depuis $p'=0$ jusqu’à $p'=s$ est

${\frac {\iint x^{p}dx(1-x)^{q}x'^{s}dx'(1-x')^{q'}}{\iint x^{p}dx(1-x)^{q}x'^{s}dx'(1-x')^{q'}}},$

les intégrales du numérateur étant prises depuis $x'=x$ jusqu’à $x'=1,$ et depuis $x=0$ jusqu’à $x=1\,;$ celles du dénominateur étant prises depuis $x$ et $x'$ nuls jusqu’à $x$ et $x'$ égaux à l’unité. Si l’on applique à cette formule l’analyse que nous avons donnée pages 439 et suivantes de ce Volume^[2], on trouvera que, si $s$ est moindre et très peu différent de ${\frac {pq'}{q}},$ la fraction précédente sera à très peu près égale à ${\frac {\int dte^{-t^{2}}}{\sqrt {\pi }}},\ e$ étant le nombre dont le logarithme hyperbolique est l’unité, $\pi$ étant le rapport de la demi-circonférence au rayon, et l’intégrale relative à $t$

1. Œuvres de Laplace, t. X, p. 264 à 267.
2. Ibid., p. 310 et suivantes.