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Maintenant, ces deux quantités ont le même signe au centre, car on a, par ce qui précède,

$s'=s+n=i+n-2,$

$s'(s'+5)\mathrm {U} '_{i}={\frac {6n\gamma }{(n+3)\beta }}\mathrm {U} _{i},$

partant

$\mathrm {U} '_{i}={\frac {6n\gamma \mathrm {U} _{i}}{(n+3)(i+n-2)(i+n+3)\beta }}\,;$

on aura donc

${\begin{aligned}h=&a^{i-2}+{\frac {6n\gamma a^{i+n-2}}{(n+3)(i+n-2)(i+n+3)\beta }}+\ldots ,\\{\frac {dh}{da}}=&(i-2)a^{i-3}+{\frac {6n\gamma a^{i+n-3}}{(n+3)(i+n+3)\beta }}+\ldots .\end{aligned}}$

$\gamma ,\beta$ et $n$ étant positifs, on voit que, au centre, $h$ et $dh$ ont le même signe lorsque $i$ est égal ou plus grand que $2\,;$ ils sont donc constamment positifs du centre à la surface.

Cela posé, relativement à la Terre, $z_{i}$ est nul lorsque $i$ est égal ou plus grand que $3\,;$ l’équation $(b)$ devient donc alors

$0=\left[3a^{2i+1}\int \rho d{\frac {h}{a^{i-2}}}-(2i+1)a^{i}h\int \rho da^{3}+3\int \rho d\left(a^{i+3}h\right)\right]\mathrm {U} _{i},$

la première intégrale étant prise depuis $a=a$ jusqu’à $a=1,$ et les deux autres étant prises depuis $a=0$ jusqu’à $a=a.$ La fonction

$-(2i+1)a^{i}h\int \rho da^{3}+3\int \rho d\left(a^{i+3}h\right)$

est une quantité négative. En effet, elle est égale à

$-(2i-2)a^{i+3}\rho h+(2i+1)a^{i}h\int a^{3}d\rho -3\int a^{i+3}hd\rho .$

$h$ augmentant du centre à la surface et $\rho$ diminuant, on a

$(2i+1)a^{i}h\int a^{3}d\rho -3\int a^{i+3}hd\rho <0\,;$

ainsi, $i$ étant égal ou plus grand que $2,$ la fonction précédente est négative.