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Pour obtenir ces intégrales, je vais rappeler un théorème que j’ai démontré dans les Mémoires cités de l’Académie. $\mathrm {Y} _{i}$ et $\mathrm {U} _{i'}$ étant deux fonctions rationnelles et entières de $\mu ,\ {\sqrt {1-\mu ^{2}}}\sin \varpi$ et ${\sqrt {1-\mu ^{2}}}\cos \varpi ,$ la première de l’ordre $i,$ la seconde de l’ordre $i',$ et telles que l’on ait

${\begin{aligned}0=&{\frac {\partial \left[\left(1-\mu ^{2}\right){\cfrac {\partial \mathrm {Y} _{i}}{\partial \mu }}\right]}{\partial \mu }}+{\frac {\cfrac {\partial ^{2}\mathrm {Y} _{i}}{\partial \varpi ^{2}}}{1-\mu ^{2}}}+i(i+1)\mathrm {Y} _{i},\\0=&{\frac {\partial \left[\left(1-\mu ^{2}\right){\cfrac {\partial \mathrm {U} _{i'}}{\partial \mu }}\right]}{\partial \mu }}+{\frac {\cfrac {\partial ^{2}\mathrm {U} _{i'}}{\partial \varpi ^{2}}}{1-\mu ^{2}}}+i(i+1)\mathrm {U} _{i'},\end{aligned}}$

on a généralement, lorsque $i$ et $i'$ sont deux nombres différents,

$\iint \mathrm {Y} _{i}\mathrm {U} _{i}d\mu d\varpi =0,$

les intégrales étant prises depuis $\varpi =0$ jusqu’à $\varpi =360^{\circ },$ et depuis $\mu =-1$ jusqu’à $\mu =1.$ Cela posé, si dans les trois dernières équations relatives au centre de gravité on substitue pour $y$ sa valeur $\mathrm {Y_{0}+Y_{1}+Y_{2}} +\ldots ,$ elles se réduiront, en vertu de ce théorème, aux suivantes :

${\begin{aligned}0=&\iiint \rho \mu d\mu d\varpi d\left(a^{4}Y_{1}\right),\\0=&\iiint \rho d\mu d\varpi {\sqrt {1-\mu ^{2}}}\sin \varpi d\left(a^{4}Y_{1}\right),\\0=&\iiint \rho d\mu d\varpi {\sqrt {1-\mu ^{2}}}\cos \varpi d\left(a^{4}Y_{1}\right).\end{aligned}}$

Maintenant on a

$\mathrm {Y} _{1}={\frac {\mathrm {U} _{1}}{a}},$

$a$ et $\mathrm {U} _{1}$ étant une fonction linéaire de $\mu ,{\sqrt {1-\mu ^{2}}}\sin \varpi$ et ${\sqrt {1-\mu ^{2}}}\cos \varpi ,$ il est compris dans la forme

$\mathrm {H\mu +H'{\sqrt {1-\mu ^{2}}}\sin \varpi +H''{\sqrt {1-\mu ^{2}}}\cos \varpi } ,$

$\mathrm {H,H',H''}$ étant des constantes arbitraires qui, dans ce cas, sont indépendantes de $a,$ puisque $\mathrm {U} _{1}$ en est indépendant ; en substituant donc cette valeur de $\mathrm {Y} _{1}$ dans les équations précédentes, on trouvera

$0=\mathrm {H} \int \rho da^{3},\qquad 0=\mathrm {H} '\int \rho da^{3},\qquad 0=\mathrm {H} ''\int \rho da^{3},$