Page:Laplace - Œuvres complètes, Gauthier-Villars, 1878, tome 11.djvu/536

On satisfera à cette équation en faisant $\mathrm {Y} _{1}={\frac {\mathrm {U} _{1}}{a}},\ \mathrm {U} _{1}$ étant une fonction indépendante de $a\,;$ cette valeur de $\mathrm {Y} _{1}$ est celle qui correspond à l’équation $s=i-2\,;$ elle est par conséquent la seule que l’on doive admettre. En la substituant dans l’équation $(b)$ et supposant $z_{1}=0,$ la fonction $U_{1}$ disparaît, et par conséquent reste arbitraire ; mais la condition que l’origine des rayons $r$ est au centre de gravité du sphéroïde terrestre la rend nulle. En effet, si l’on suppose

$y=\mathrm {Y_{0}+Y_{1}+Y_{2}} +\ldots ,$

en sorte que $r=a+\alpha ay,$ l’expression d’une molécule quelconque du sphéroïde sera

${\frac {\rho }{3}}d(a+\alpha ay)^{3}d\mu d\varpi ,$

la première caractéristique $d$ ? se rapportant uniquement à la variable $a.$ Les distances de cette molécule aux trois plans, de l’équateur, du méridien que nous avons supposé invariable et d’où nous comptons l’angle $\varpi ,$ et du méridien qui lui est perpendiculaire sont

$(a+\alpha ay)\mu ,\quad (a+\alpha ay){\sqrt {1-\mu ^{2}}}\sin \varpi ,\quad (a+\alpha ay){\sqrt {1-\mu ^{2}}}\cos \varpi .$

On aura donc, par la nature du centre de gravité, les trois équations

${\begin{aligned}0=&\iiint \rho \mu d\mu d\varpi d(a+\alpha ay)^{4},\\0=&\iiint \rho d\mu d\varpi {\sqrt {1-\mu ^{2}}}\sin \varpi d(a+\alpha ay)^{4},\\0=&\iiint \rho d\mu d\varpi {\sqrt {1-\mu ^{2}}}\cos \varpi d(a+\alpha ay)^{4},\end{aligned}}$

les triples intégrales étant prises depuis $\varpi =0$ jusqu’à $\varpi =360^{\circ },$ depuis $\mu =-1$ jusqu’à $\mu =1$ et depuis $a=0$ jusqu’à $a=1.$ En négligeant les quantités de l’ordre $\alpha ^{2},$ ces trois équations se réduisent aux suivantes :

${\begin{aligned}0=&\iiint \rho \mu d\mu d\varpi d\left(a^{4}y\right),\\0=&\iiint \rho d\mu d\varpi {\sqrt {1-\mu ^{2}}}\sin \varpi d\left(a^{4}y\right),\\0=&\iiint \rho d\mu d\varpi {\sqrt {1-\mu ^{2}}}\cos \varpi d\left(a^{4}y\right).\end{aligned}}$