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une suite de cette forme

$\mathrm {Y} _{i}=\mathrm {U} _{i}a^{s}+\mathrm {U} '_{i}a^{s'}+\ldots \,;$

l’équation différentielle précédente donnera

${\begin{aligned}s(s&+5)\mathrm {U} _{i}a^{s-2}+s(s'+5)\mathrm {U} '_{i}a^{s'-2}+\ldots \\&=\mathrm {U} _{i}a^{s-2}\left[i(i+1)-6+{\frac {6n\gamma }{(n+3)\beta }}a^{n}-\ldots \right]+\ldots ,\end{aligned}}$

d’où l’on tire, en comparant les puissances semblables de $a,$

$s(s+5)=i(i+1)-6$

et, par conséquent,

$s={\frac {5\pm (2i+1)}{2}},$

ce qui donne

$s=i-2\qquad {\text{et}}\qquad s=-i-3.$

Chacune de ces valeurs de $s$ donne une série particulière qui, étant multipliée par une arbitraire, sera une intégrale de l’équation différentielle en $\mathrm {Y} _{i}.$ La somme de ces deux intégrales en sera l’intégrale complète.

Dans le cas présent, la suite qui répond à $s=-i-3$ doit être rejetée, car il en résulterait pour $a\mathrm {Y} _{i}$ une valeur infinie lorsque $a$ serait infiniment petit, ce qui rendrait infinis les rayons des couches infiniment voisines du centre. Ainsi, des deux intégrales particulières de l’expression de $\mathrm {Y} _{i}$ celle qui répond à $s=i-2.$ doit être seule admise. Cette expression ne renferme plus alors qu’une arbitraire qui sera déterminée par la fonction $z_{i},$ dont elle ne peut être qu’un multiple.

La fonction $z_{1}$ étant nulle, $\mathrm {Y} _{1}$ est pareillement nul et le centre de gravité de chaque couche est au centre de gravité du sphéroïde. Pour le faire voir, nous observerons que l’équation différentielle en $\mathrm {Y} _{i}$ donne

${\frac {\partial ^{2}\mathrm {Y} _{1}}{\partial a^{2}}}=\left(2-{\frac {6\rho a^{3}}{\int \rho da^{3}}}\right){\frac {\mathrm {Y} _{1}}{a^{2}}}-{\frac {6\rho a^{2}}{\int \rho da^{3}}}{\frac {\partial \mathrm {Y} _{1}}{\partial a}}.$