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les deux premières intégrales du second membre de cette équation étant prises depuis $a=a$ jusqu’à $a=1,$ et les trois dernières étant prises depuis $a=0$ jusqu’à $a=a.$ Cette équation ne détermine ni $a,$ ni $\mathrm {Y} _{0}\,:$ elle donne seulement un rapport entre ces deux quantités, en sorte que $\mathrm {Y} _{0}$ est arbitraire et peut être déterminé à volonté.

On aura ensuite

$(b)\qquad \qquad \left\{{\begin{aligned}0=&{\frac {4\eta a^{i}}{2i+1}}\int \rho d{\frac {\mathrm {Y} _{i}}{a^{i-2}}}-{\frac {4\eta }{3a}}\mathrm {Y} _{i}\int \rho da^{3}\\&+{\frac {4\eta }{(2i+1)a^{i+1}}}\int \rho d\left(a^{i+3}\mathrm {Y} _{i}\right)+a^{i}z_{i},\end{aligned}}\right.$

la première intégrale étant prise depuis $a=a$ jusqu’à $a=1,$ et les deux autres étant prises depuis $a=0$ jusqu’à $a=a.$ Cette équation donnera la valeur de $\mathrm {Y} _{i}$ relative à chaque couche fluide, lorsque la loi des densités $\rho$ sera connue.

Pour réduire ces différentes intégrales dans les mêmes limites, soit

${\frac {4\eta }{2i+1}}\int \rho d{\frac {\mathrm {Y} _{i}}{a^{i-2}}}+z_{i}={\frac {4\eta }{2i+1}}z'_{i},$

l’intégrale étant prise depuis $a=0$ jusqu’à $a=1\,;\ z'_{i}$ sera une quantité indépendante de $a,$ puisque la fonction $z_{i}$ en est indépendante ; l’équation $(b)$ deviendra ainsi

$0=(2i+1)a^{i}\mathrm {Y} _{i}\int \rho da^{3}+3a^{2i+1}\int \rho d{\frac {\mathrm {Y} _{i}}{a^{i-2}}}-3\int \rho d\left(a^{i+3}\mathrm {Y} _{i}\right)-3a^{2i+1}z'_{i},$

toutes les intégrales étant prises depuis $a=0$ jusqu’à $a=a.$

On peut faire disparaître les signes d’intégration par des différentiations, et l’on a l’équation différentielle du second ordre

$(c)\qquad \qquad {\frac {\partial ^{2}\mathrm {Y} _{i}}{\partial a^{2}}}=\left[{\frac {i(i+1)}{a^{2}}}-{\frac {6\rho a}{\int \rho da^{3}}}\right]\mathrm {Y} _{i}-{\frac {6\rho a^{2}}{\int \rho da^{3}}}{\frac {\partial \mathrm {Y} _{i}}{\partial a}}$

L’intégrale de cette équation donnera la valeur de $\mathrm {Y} _{i}$ avec deux constantes arbitraires, qui seront des fonctions rationnelles et entières de l’ordre $i$ des quantités $\mu ,\ {\sqrt {1-\mu ^{2}}}\sin \varpi$ et ${\sqrt {1-\mu ^{2}}}\cos \varpi ,$ telles qu’en