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On doit observer dans cette équation : 1^o que $\eta$ est le rapport de la demi-circonférence au rayon ; 2^o que les signes intégral $\int$ et différentiel $d$ se rapportent à la variable $a\,;$ 3^o que, dans le second membre, les deux premières intégrales doivent être prises depuis $a=a$ jusqu’à $a$ égal à sa valeur à la surface de la Terre, valeur que nous prendrons pour l’unité ; 4^o que les deux dernières intégrales de ce même membre doivent être prises depuis $a=0$ jusqu’à $a=a\,;$ 5^o que la fonction

$\alpha r^{2}\left(z_{0}+z_{2}+rz_{3}+r^{2}z_{4}+\ldots \right)$

exprime la somme des intégrales de toutes les forces étrangères à l’attraction des molécules du sphéroïde terrestre, multipliées respectivement par les éléments de leurs directions, cette somme étant développée en série, de manière que $z_{i}$ est une fonction rationnelle et entière de l’ordre $i$ des quantités $\mu ,\ {\sqrt {1-\mu ^{2}}}\sin \varpi ,\ {\sqrt {1-\mu ^{2}}}\cos \varpi ,$ qui satisfait à l’équation aux différentielles partielles

$0={\frac {\partial \left[\left(1-\mu ^{2}\right){\cfrac {\partial \mathrm {z} _{i}}{\partial \mu }}\right]}{\partial \mu }}+{\frac {\cfrac {\partial ^{2}\mathrm {z} _{i}}{\partial \varpi ^{2}}}{1-\mu ^{2}}}+i(i+1)\mathrm {z} _{i}.$

On peut toujours ainsi développer les forces étrangères lorsqu’elles sont produites par les attractions et par la force centrifuge, et, dans ce cas, $z_{1}$ est nul. Relativement à la figure de la Terre, on ne doit considérer que cette dernière force, et, en la nommant $\alpha g,$ on aura

$\alpha z_{0}={\frac {\alpha g}{3}},\qquad \alpha z_{1}=0,\qquad \alpha z_{2}=-{\frac {\alpha g}{2}}\left(\mu ^{2}-{\frac {1}{3}}\right).$

(Voir les Mémoires cités de l’Académie.) 6^o Enfin on doit observer, après les différentiations et les intégrations, de changer $r$ dans

$a+\alpha a\left(\mathrm {Y} _{0}+\mathrm {Y} _{1}+\mathrm {Y} _{2}+\ldots \right).$

Cela posé. $\mathrm {Y} _{i}$ et $z_{i}$ étant des fonctions semblables, si dans l’équation $(a)$ on compare les fonctions semblables, on aura d’abord

${\begin{aligned}\int {\frac {d\Pi }{\rho }}=&2\eta \int \rho da^{2}+4\alpha \eta \int \rho d\left(a^{2}\mathrm {Y} _{0}\right)\\&+{\frac {4\eta }{3a}}\int \rho da^{3}-{\frac {4\alpha \eta }{3a}}\mathrm {Y} _{0}\int \rho da^{3}+{\frac {4\alpha \eta }{a}}\int \rho d\left(a^{3}\mathrm {Y} _{0}\right)+\alpha a_{2}z_{0},\end{aligned}}$