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elliptique remplit, dans ce cas, les conditions de l’équilibre ; mais il s’agit de prouver qu’elle est la seule qui satisfasse à ces conditions. Pour cela, je vais rappeler quelques propositions que j’ai démontrées dans les Mémoires cités.

Soit $\theta$ l’angle formé par un rayon $r,$ mené du centre de gravité de la Terre à un point quelconque d’une de ses couches et par l’axe de rotation de cette planète ; soit $\cos \theta =\mu .$ Nommons $\varpi$ l’angle que forme le plan qui passe par ce rayon et par l’axe de rotation avec un méridien invariable. Soit $\mathrm {Y} ,$ une fonction rationnelle et entière de l’ordre $i$ des trois quantités $\mu ,{\sqrt {1-\mu ^{2}}}\sin \varpi$ et ${\sqrt {1-\mu ^{2}}}\cos \varpi ,$ et qui soit assujettie à l’équation aux différences partielles

$0={\frac {\partial \left[\left(1-\mu ^{2}\right){\cfrac {\partial \mathrm {Y} _{i}}{\partial \mu }}\right]}{\partial \mu }}+{\frac {\cfrac {\partial ^{2}\mathrm {Y} _{i}}{\partial \varpi ^{2}}}{1-\mu ^{2}}}+i(i+1)\mathrm {Y} _{i}.$

La surface de la couche du sphéroïde, dont le rayon est $r,$ étant supposée très peu différer d’une surface sphérique, on pourra toujours exprimer $r$ par une suite de cette forme

$a+\alpha a\left(\mathrm {Y} _{0}+\mathrm {Y} _{1}+\mathrm {Y} _{2}+\mathrm {Y} _{3}+\ldots \right),$

$\alpha$ étant un très petit coefficient dont nous négligerons le carré.

Nommons $\rho$ la densité de la couche dont le rayon est $r,$ et \Pi la pression du fluide à sa surface. La densité $\rho$ étant supposée la même dans toute l’étendue de sa surface, elle sera une fonction de $a\,;$ de plus, la pression \Pi est, comme on sait, la même sur toute cette surface, en sorte qu’elle est fonction de $a.$ Cela posé, on aura l’équation suivante, donnée par les conditions de l’équilibre [Mémoires de l’Académie pour l’année 1782, page 179 ^[1],

$(a)\left\{{\begin{aligned}\int {\frac {d\Pi }{\rho }}=&\quad \ 2\eta \int \rho da^{2}\\&+4\alpha \eta \int \rho d\left(a^{2}\mathrm {Y} _{0}+{\frac {ar}{3}}\mathrm {Y} _{1}+{\frac {r^{2}}{5}}\mathrm {Y} _{2}+{\frac {r^{3}}{7a}}\mathrm {Y} _{3}+\ldots \right)\\&+{\frac {4\eta }{3r}}\int \rho da^{3}\\&+{\frac {4\alpha \eta }{r}}\int \rho d\left(a^{3}\mathrm {Y} _{0}+{\frac {a^{4}}{3r}}\mathrm {Y} _{1}+{\frac {a^{5}}{5r^{2}}}\mathrm {Y} _{2}+{\frac {a^{6}}{7r^{3}}}\mathrm {Y} _{3}+\ldots \right)\\&+\alpha r^{2}\left(z_{0}+z_{2}+rz_{3}+r^{2}z_{4}+\ldots \right).\end{aligned}}\right.$

1. Œuvres de Laplace, T. X, p. 403.