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ET LES MORTS, ETC.

Pour cela, nommons $x$ le rapport inconnu du nombre des boules blanches au nombre total des boules renfermées dans l’urne, et désignons par $p'$ le nombre inconnu des boules blanches amenées au second tirage ; la probabilité de ce tirage sera, par la théorie connue des hasards,

${\frac {1.2.3\ldots (p'+q')}{1.2.3\ldots p'.1.2.3\ldots q'}}x^{p'}(1-x)^{q'}.$

Mais, $p'$ étant inconnu, il est susceptible de toutes les valeurs depuis $p'=0$ jusqu’à $p'=\infty \,;$ ces valeurs sont plus ou moins probables, suivant qu’elles rendent le second tirage plus ou moins probable. On aura donc la probabilité de $p'$ en divisant la quantité précédente par la somme de toutes les valeurs de cette quantité, depuis $p'=0$ jusqu’à $p'=\infty ,$ c’est-à-dire par la suite infinie

$(1-x)^{q'}\left[1+(q'+1)x+{\frac {(q'+1)(q'+2)}{1.2}}x^{2}+\ldots \right]$

[voir les pages 428 et 429 de ce Volume^[1]]. Cette suite est égale à ${\frac {1}{1-x}}\,;$ la probabilité de $p'$ est donc égale à

${\frac {1.2.3\ldots (p'+q')}{1.2.3\ldots p'.1.2.3\ldots q'}}x^{p'}(1-x)^{q'}.$

Cette probabilité suppose que $x$ est le rapport des boules blanches à toutes les boules renfermées dans l’une ; mais, ce rapport étant inconnu, on peut le faire varier depuis $x=0$ jusqu’à $x=1.$ Ces différentes valeurs de $x$ sont plus ou moins probables, suivant qu’elles rendent le premier tirage plus ou moins probable ; or la probabilité de ce tirage est

${\frac {1.2.3\ldots (p+q)}{1.2.3\ldots p.1.2.3\ldots q}}x^{p}(1-x)^{q}\,;$

la probabilité de $x$ sera donc égale à ${\frac {x^{p}dx(1-x)^{q}}{\int x^{p}dx(1-x)^{q}}},$ l’intégrale du dénominateur étant prise depuis $x=0$ jusqu’à $x=1$ [voir la page 430 de ce Volume^[2]]. En multipliant cette probabilité par celle de $p',$ on aura la probabilité de $p',$ correspondante au rapport $x,$ d’où il suit

1. Œuvres de Laplace, T. X, p. 300 et 301
2. Ibid., p. 302.