Page:Laplace - Œuvres complètes, Gauthier-Villars, 1878, tome 11.djvu/509

Les mesures géodésiques donnent la ligne la plus courte tracée entre deux points situés sous le même méridien, et cette ligne n’est point celle du méridien terrestre ; mais on peut encore s’assurer facilement que la longueur de l’arc du méridien est, aux quantités près du second ordre, la même que celle de la ligne la plus courte menée entre les deux extrémités de cet arc.

Si l’on nomme $ds$ l’élément de la courbe du méridien terrestre et $r$ son rayon osculateur, on aura

$r={\frac {ds^{2}}{\sqrt {\left(d^{2}x\right)^{2}+\left(d^{2}y\right)^{2}+\left(d^{2}z\right)^{2}-\left(d^{2}s\right)^{2}}}}.$

En prenant pour le plan des $x$ et des $y$ le plan même du méridien céleste, $z$ sera une quantité très petite du premier ordre, puisqu’elle serait nulle, si la Terre était une sphère. On aura donc, en négligeant les quantités du second ordre,

$ds={\sqrt {dx^{2}+dy^{2}}},$

$r={\frac {ds^{2}}{\sqrt {\left(d^{2}x\right)^{2}+\left(d^{2}y\right)^{2}-\left(d^{2}s\right)^{2}}}}\,;$

le rayon osculateur du méridien terrestre peut donc être supposé le même que celui de la courbe formée par l’intersection de la surface de la Terre et du méridien céleste.

Le plan mené par la verticale, parallèlement au plan du méridien céleste, se confond avec lui, lorsque la Terre est un solide de révolution ; dans les autres cas, ces deux plans s’écartent l’un de l’autre. Leur distance mutuelle est insensible relativement aux étoiles ; mais elle peut être sensible pour la Lune. Des observations multipliées d’éclipses de Soleil et d’occultations d’étoiles, faites sous des longitudes très différentes, peuvent nous éclairer sur cet objet.

IX.

On a déjà mesuré un assez grand nombre de degrés des méridiens ; ces mesures ont été combinées de beaucoup de manières pour en