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on aura donc, à l’époque donnée,

$\sum c\sin \mathrm {A} =0,\qquad \sum c\cos \mathrm {A} =0.$

Ainsi, en réduisant l’expression de $\delta \theta '$ dans une suite ordonnée par rapport aux puissances de $t$ et en ne conservant que la première puissance, on aura

$\delta \theta '=-\sum {\frac {n}{i}}c\cos \mathrm {A} -\sum cit\sin \mathrm {A} .$

La variation de l’obliquité de l’écliptique sera donc à cette époque égale $-\sum cit\sin \mathrm {A} ,$ et par conséquent elle sera la même qui résulte du seul déplacement de l’écliptique.

La fonction $-\sum 2cit\sin(it+\mathrm {A} )$ dépend des masses des planètes, et, comme plusieurs de ces masses sont encore inconnues, cette fonction n’a pu être jusqu’ici exactement déterminée. M. de la Grange l’a calculée dans deux hypothèses différentes sur ces masses. (Voir les Mémoires de l’Académie pour l’année 1774, et les Mémoires de Berlin pour l’année 1782.) Si l’on fait usage de la dernière de ces déterminations, on trouve que la variation de l’inclinaison de l’écliptique vraie sur l’écliptique fixe de 1700, variation dont les limites sont $\pm 5^{\circ }23',$ produit dans l’obliquité de l’écliptique vraie sur l’équateur une variation dont les limites sont $\pm 1^{\circ }21'28''{,}5\,;$ en sorte que l’action du Soleil et de la Lune sur le sphéroïde terrestre réduit au quart l’étendue des variations de l’obliquité de l’écliptique qui auraient lieu si la Terre était une sphère.

Pareillement les limites $\pm 2^{\mathrm {m} }17^{\mathrm {s} }{,}7,$ que M. de la Grange assigne aux variations de la longueur de l’année, se trouvent réduites par nos formules à celles-ci $\pm 51^{\mathrm {s} }{,}9\,;$ d’où l’on voit la nécessité d’avoir égard aux considérations précédentes.

V.

L’incertitude où l’on est encore sur les masses de plusieurs planètes ne permet pas d’avoir exactement les fonctions $\sum c\sin(it+\mathrm {A} )$ et $\sum c\cos(it+\mathrm {A} ).$ On en déterminera facilement, par la méthode sui-