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Ainsi la variation de l’angle $\psi$ ou du mouvement des équinoxes, variation que nous désignerons par \delta\psi, est

$\delta \psi =\sum \left[\left({\frac {n}{i}}-1\right)\operatorname {tang} \theta +\cos \theta \right]{\frac {nc}{i}}\sin(it+\mathrm {A} ).$

Pour avoir la variation de cet angle relativement à l’écliptique vraie, il faut retrancher de $\delta \psi$ la variation du mouvement des équinoxes en longitude due au seul déplacement de l’écliptique, et qui est égale à $\sum c\cot \theta \sin(it+\mathrm {A} ).$ En nommant donc $\delta \psi '$ la variation du mouvement rétrograde des équinoxes par rapport à l’écliptique vraie, on aura

$\delta \psi '=\sum \left(1+{\frac {n}{i}}\operatorname {tang} ^{2}\theta \right)\left({\frac {n}{i}}-1\right)c\cot \theta \sin(it+\mathrm {A} ).$

Il est facile de condure de cette formule la variation de l’année tropique, car on aura son accroissement en multipliant $-{\frac {d\delta \psi '}{dt}}$ par $1^{\mathrm {j} }$ ou par $86\,400^{\mathrm {s} }$ de temps, et en le divisant par $59'8''{,}3,$ mouvement journalier du Soleil, ce qui revient à réduire en secondes les coefficients des sinus et des cosinus de $-{\frac {d\delta \psi '}{dt}}$ et à les multiplier par $24{,}3497.$

IV.

On peut observer sur les valeurs précédentes de $\delta \theta '$ et de $\delta \psi '$ qu’elles seraient nulles à très peu près, si $i$ était peu différent de $n\,;$ ce cas aurait lieu si le mouvement des équinoxes était très rapide relativement à celui du plan de l’orbite de la Terre, car alors les angles $(n-i)t,$ dont ce dernier mouvement dépend, seraient très petits par rapport à $nt.$

Si l’on choisit pour plan fixe celui de l’écliptique à une époque donnée, et que l’on fixe l’origine de $t$ à cette époque, la tangente de l’inclinaison de l’orbite terrestre sur le plan fixe sera nulle avec $t.$ Or le carré de cette tangente est

$\left[\sum c\cos(it+\mathrm {A} )\right]^{2}+\left[\sum c\sin(it+\mathrm {A} )\right]^{2}\,;$