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dans le plan de l’orbite de Jupiter ; $\mathrm {T}$ sera donné par les Tables de cette planète et par l’expression précédente de $v'.$ Il est clair que l’instant de la conjonction réelle du satellite retarde sur $\mathrm {T}$ de la quantité ${\frac {{\frac {1}{2}}s'ds'}{dv'}},$ réduite en temps. Cette quantité ainsi réduite est égale à

$235^{\mathrm {s} }{,}9{\frac {\zeta d\zeta }{dv'}}\,;$

l’instant de l’immersion du satellite sera donc

$\mathrm {T} -311^{\mathrm {s} }{,}0{\frac {\zeta d\zeta }{dv'}}-5170^{\mathrm {s} }(1+\mathrm {X} ){\sqrt {1-\mathrm {X} -\zeta ^{2}}}.$

L’instant de l’émersion sera

$\mathrm {T} -311^{\mathrm {s} }{,}0{\frac {\zeta d\zeta }{dv'}}+5170^{\mathrm {s} }(1+\mathrm {X} ){\sqrt {1-\mathrm {X} -\zeta ^{2}}},$

et la durée entière de l’éclipse sera

$10340^{\mathrm {s} }(1+\mathrm {X} ){\sqrt {1-\mathrm {X} -\zeta ^{2}}}.$

Pour corriger ces éléments, on formera à leur moyen des Tables provisoires du second satellite. Son mouvement en longitude offre trois corrections, savoir : 1^o celle de l’époque de la longitude moyenne du satellite en 1700, soit $\delta \varepsilon '$ cette correction réduite en temps, à raison du moyen mouvement synodique du second satellite ; 2^o celle du mouvement annuel des moyennes conjonctions, soit $\delta n'$ cette correction ; 3^o la correction du coefficient $3848''{,}2$ de $\sin 2(\theta '-\theta ''),$ soit $\delta y'$ cette correction réduite en temps. Pour déterminer ces trois inconnues, on formera des systèmes de deux éclipses fort voisines, dans l’une desquelles l’immersion a été observée, tandis que l’émersion a été observée dans l’autre. On calculera par les Tables provisoires l’instant de l’immersion dans la première éclipse, soit $q$ l’excès de l’instant calculé sur l’instant observé. On calculera par les mêmes Tables l’instant de l’émersion dans la seconde éclipse, soit $q_{1}$ l’excès de l’instant observé sur l’instant calculé ; on aura l’équation de condition suivante :

$q+q_{1}=2\delta \varepsilon '+(i+i_{1})\delta n'+s\delta y'\left[\sin 2(\theta '-\theta '')+\sin 2\left(\theta '_{1}-\theta ''_{1}\right)\right].$