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L’autre partie de l’expression de $s'$ du même article peut être négligée.

En rassemblant donc tous les termes sensibles de l’expression de la latitude du second satellite dans les éclipses, on aura

${\begin{aligned}s'=3^{\circ }4'&51''{,}4\sin \left(v'+46^{\circ }56'-\quad \ \ 52''{,}25i\right)\\-27'&58''{,}9\sin \left(v'+18^{\circ }53'+43199''{,}75i\right)\\-\ \ 1'&58''{,}1\sin \left(v'+56^{\circ }44'+\ \ 9513''{,}45i\right)\\-\quad \ &26''{,}0\sin \left(v'+41^{\circ }50'+\ \ 2381''{,}05i\right).\end{aligned}}$

Pour avoir la durée des éclipses du second satellite, nous reprendrons la formule de l’article XII

$t=\mathrm {T} (1+\mathrm {X} )\left[{\frac {-s'ds'}{(1-\rho )^{2}{\text{ϐ}}dv'}}\pm {\sqrt {1-\mathrm {X} -{\frac {s'^{2}}{(1-\rho )^{2}{\text{ϐ}}^{2}}}}}\right].$

$\mathrm {T}$ est la demi-durée moyenne des éclipses du satellite dans ses nœuds ; M. de Lambre a trouvé cette demi-durée de $5170^{\mathrm {s} }.$ La valeur de $v'$ donne, à fort peu près,

$\mathrm {X} =-0{,}018657\cos 2(\theta '-\theta '').$

ϐ est le moyen mouvement synodique du satellite pendant le temps $\mathrm {T} ,$ et l’on a

${\text{ϐ}}=21820''.$

Cela posé, on formera la quantité. ${\frac {s'}{(1-\rho ){\text{ϐ}}}},$ et, en la nommant $\zeta ,$ on aura

${\begin{aligned}\zeta =&\quad \ 0{,}547265\ \ \sin \left(v'+46^{\circ }56'-\quad \ \ 52''{,}25i\right)\\&-0{,}083153\ \ \sin \left(v'+18^{\circ }53'+43199''{,}75i\right)\\&-0{,}0058275\sin \left(v'+56^{\circ }44'+\ \ 9513''{,}44i\right)\\&-0{,}0012842\sin \left(v'+41^{\circ }50'+\ \ 2381''{,}05i\right).\end{aligned}}$

Maintenant, on peut dans l’expression de $t$ négliger, sans erreur sensible, le terme $-{\frac {\mathrm {TX} s'ds'}{(1-\rho )^{2}{\text{ϐ}}dv'}}\,;$ on aura ainsi

$t=546^{\mathrm {s} }{,}9{\frac {\zeta d\zeta }{dv'}}\pm 5170^{\mathrm {s} }{\sqrt {1-\mathrm {X} -\zeta ^{2}}}.$

Soit $\mathrm {T}$ l’instant de la conjonction du satellite, en supposant son orbite