Page:Laplace - Œuvres complètes, Gauthier-Villars, 1878, tome 11.djvu/409

395

THÉORIE DES SATELLITES DE JUPITER.

et il est aisé de se convaincre que ce terme est le seul sensible de ce genre que produise la partie de Relative à l’action du premier satellite.

La partie de $\mathrm {R} '$ relative à l’action du troisième satellite est

$-{\frac {m''}{2}}\mathrm {B} ^{'(0)}+m''\left({\frac {r'}{r''^{2}}}-\mathrm {B} ^{'(1)}\right)\cos(v''-v')-m''\mathrm {B} ^{'(2)}\cos 2(v''-v')-\ldots .$

Si l’on désigne par $\mathrm {Q} ''$ le coefficient de $\sin(nt-2n't+\varepsilon -2\varepsilon '+\varpi )$ dans l’expression de $\delta v'',$ coefficient dont nous avons donné la valeur dans l’article VIII, et si l’on observe que l’on a

$2n''t-2n't+2\varepsilon ''-2\varepsilon '=180^{\circ }+n't-nt+\varepsilon '+\varepsilon ,$

on trouvera que le terme $-m''\mathrm {B} ^{'(2)}\cos 2(v''-v')$ de l’expression de $\mathrm {R} '$ produit, dans la fonction

$2n'^{2}a'\int \operatorname {d} '\mathrm {R} '+n'^{2}a'r'{\frac {\partial \mathrm {R} '}{\partial r'}},$

le terme

$+n'^{2}m''\mathrm {F'(2Q''-Q')} \cos(n't+\varepsilon '-\varpi )\,;$

et l’on s’assurera que ce terme est le seul sensible de ce genre qui résulte de la valeur de Relative à l’action du troisième satellite. L’équation différentielle en $r'\delta 'r'$ devient ainsi, en n’ayant égard qu’à ces termes,

${\begin{aligned}0={\frac {d^{2}(r'\delta 'r')}{a'^{2}dt^{2}}}+\mathrm {N} '^{2}{\frac {r'\delta 'r'}{a'^{2}}}&+{\frac {n'^{2}m''\mathrm {F} '}{2}}(2\mathrm {Q''-Q'} )\cos(n't+\varepsilon '-\varpi )\\&-{\frac {n'^{2}m\mathrm {G} }{2}}\ \ \ (2\mathrm {Q'\ -Q\ } )\cos(n't+\varepsilon '-\varpi ).\end{aligned}}$

Il est aisé de voir qu’il en résultera dans l’équation $(i')$ de l’article VII les termes

${\frac {m''\mathrm {F} '}{4}}n'\mathrm {T(2Q''-Q')} -{\frac {m\mathrm {G} }{4}}n'\mathrm {T(2Q'-Q)} .$

Considérons enfin le troisième satellite. Il est relativement au second ce que le second est relativement au premier ; or nous venons de voir que, $\mathrm {Q}$ et $\mathrm {Q} '$ étant les coefficients de $\sin(nt-2n't+\varepsilon -2\varepsilon '+\varpi )$