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THÉORIE DES SATELLITES DE JUPITER.

on trouvera, en appliquant l’analyse précédente au second satellite, que la partie de ${\frac {r'\delta r'}{a'^{2}}}$ qui a pour diviseur $n-2n'+f$ est

${\begin{aligned}\mathrm {H} '\cos 2(nt-n't+\varepsilon -\varepsilon ')&+\mathrm {K} '\cos(\ \ nt-2n't+\ \ \varepsilon -2\varepsilon '+\varpi )\\&+\mathrm {L} '\,\cos(nt+\varepsilon -\varpi ).\end{aligned}}$

L’équation différentielle en $r'\delta 'r'$ est

${\begin{aligned}0={\frac {d^{2}(r'\delta 'r')}{dt^{2}}}&+{\frac {(1+m)r'\delta 'r'}{r'^{3}}}+{\frac {1}{2}}{\frac {d^{2}\delta r'^{2}}{dt^{2}}}\\&-{\frac {(1+m')\delta r'^{2}}{r'^{3}}}+2\int \operatorname {d} '\mathrm {R} '+r'{\frac {\partial \mathrm {R} '}{\partial r'}}.\end{aligned}}$

En ne conservant dans cette équation que les termes dépendants de l’angle à $n't+\varepsilon '-\varpi ,$ on trouvera, par l’analyse précédente, qu’elle se réduit à

${\begin{aligned}0={\frac {d^{2}(r'\delta 'r')}{a'^{2}dt^{2}}}+\mathrm {N} '^{2}{\frac {r'\delta 'r'}{a'^{2}}}&+{\frac {3}{2}}n'^{2}\mathrm {H} '\left(h'\mathrm {H'-K'-L'} \right)\cos(n't+\varepsilon '-\varpi )\\&+2n'^{2}a'\int \operatorname {d} '\mathrm {R} '+n'^{2}a'r'{\frac {\partial \mathrm {R} '}{\partial r'}}.\end{aligned}}$

En substituant, au lieu de $\mathrm {H',K'}$ et $\mathrm {L} ',$ leurs valeurs, on aura

${\begin{aligned}0={\frac {d^{2}(r'\delta 'r')}{a'^{2}dt^{2}}}+\mathrm {N} '^{2}{\frac {r'\delta 'r'}{a'^{2}}}&+{\frac {n'^{2}}{2}}\left(m''\mathrm {F} '-m\mathrm {G} \right)\mathrm {Q} '\cos(n't+\varepsilon '-\varpi )\\&+2n'^{2}a'\int \operatorname {d} '\mathrm {R} '+n'^{2}a'r'{\frac {\partial \mathrm {R} '}{\partial r'}}.\end{aligned}}$

Déterminons maintenant les termes de $2n'^{2}a'\int \operatorname {d} '\mathrm {R} '+n'^{2}a'r'{\frac {\partial \mathrm {R} '}{\partial r'}}$ qui dépendent de l’angle $n't+\varepsilon '-\varpi .$ Si l’on n’a égard qu’à l’action du premier satellite sur le second, on aura

$\mathrm {R} '=-{\frac {m}{2}}\mathrm {B} ^{(0)}+m\left({\frac {r'}{r^{2}}}-\mathrm {B} ^{(1)}\right)\cos(v'-v)-m\mathrm {B} ^{(2)}\cos 2(v'-v)-\ldots .$

On trouvera facilement que le terme $m\left({\frac {r'}{r^{2}}}-\mathrm {B} ^{(1)}\right)\cos(v'-v)$ de cette expression produit dans la fonction $2n'^{2}a'\int \operatorname {d} '\mathrm {R} '+n'^{2}a'r'{\frac {\partial \mathrm {R} '}{\partial r'}}$ le terme suivant

$-{\frac {mn'^{2}}{2}}\mathrm {G(2Q'-Q)} \cos(n't+\varepsilon '-\varpi )\,;$