Page:Laplace - Œuvres complètes, Gauthier-Villars, 1878, tome 11.djvu/406

392

THÉORIE DES SATELLITES DE JUPITER.

Il faut maintenant déterminer les termes de $2n^{2}a\int \operatorname {d} \mathrm {R}$ et de $n^{2}ar{\frac {\partial \mathrm {R} }{\partial r}}$ qui dépendent de l’angle $nt+\varepsilon -\varpi$ et qui ont pour diviseur

$(n-2n'+f)^{2}.$

Si l’on n’a égard qu’à l’action du second satellite sur le premier, on a, par l’article IV,

$\mathrm {R} =-{\frac {m'}{2}}\mathrm {B} ^{(0)}+m'\left({\frac {r}{r'^{2}}}-\mathrm {B} ^{(1)}\right)\cos(v'-v)-m'\mathrm {B} ^{(2)}\cos 2(v'-v)-\ldots .$

En ne considérant que le terme $-mr'\mathrm {B} ^{(2)}\cos 2(v'-v)$ de cette expression, on a

$\operatorname {d} \mathrm {R} =-m'dr{\frac {\partial \mathrm {B} ^{(2)}}{\partial r}}\cos 2(v'-v)-2m'\mathrm {B} ^{(2)}dv\sin 2(v'-v).$

Cette expression de $\operatorname {d} \mathrm {R}$ contient le terme

$-4m'\mathrm {B} ^{(2)}ndt(\delta v'-\delta v)\cos ^{2}(nt-n't+\varepsilon -\varepsilon ').$

Soit $\mathrm {Q} '$ le coefficient de $\sin(nt-2n't+\varepsilon -2\varepsilon '+\varpi )$ dans l’expression de $\delta v',$ le terme précédent donnera celui-ci

$2m'\mathrm {B} ^{(2)}ndt(\mathrm {Q'-Q} )\sin(nt+\varepsilon -\varpi )\,;$

la fonction $2n^{2}a\int \operatorname {d} \mathrm {R}$ renferme donc le terme

$-4n^{2}m'a\mathrm {B} ^{(2)}(\mathrm {Q'-Q} )\cos(nt+\varepsilon -\varpi ).$

On trouvera pareillement que la fonction $n^{2}ar{\frac {\partial \mathrm {R} }{\partial r}}$ contient le terme

$-n^{2}m'a^{2}{\frac {\partial \mathrm {B} ^{(2)}}{\partial a}}(\mathrm {Q'-Q} )\cos(nt+\varepsilon -\varpi ),$

et l’on s’assurera facilement que ces termes sont les seuls de ce genre que renferment ces deux fonctions. En les réunissant, la quantité $2n^{2}a\int \operatorname {d} \mathrm {R} +n^{2}ar{\frac {\partial \mathrm {R} }{\partial r}}$ se réduira à celle-ci

$-m'n^{2}\left(4a\mathrm {B} ^{(2)}+a^{2}{\frac {\partial \mathrm {B} ^{(2)}}{\partial a}}\right)(\mathrm {Q'-Q} )\cos(nt+\varepsilon -\varpi )\,;$