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THÉORIE DES SATELLITES DE JUPITER.

Cette partie de $\varpi$ est insensible, parce que, $\Psi ,\Psi ',\Psi ''$ croissant avec une extrême lenteur, leurs différences secondes divisées par $kn'^{2}dt^{2}$ sont à très peu près nulles ; on peut donc supposer $\varpi =0,$ en n’ayant égard qu’à ces quantités, et alors les théorèmes énoncés précédemment sur les moyens mouvements et sur les longitudes moyennes des trois premiers satellites subsistent en entier.

Voyons maintenant comment les inégalités séculaires des trois premiers satellites se coordonnent entre elles. Si l’on suppose

$b={\frac {1}{1+{\cfrac {9a'm}{4am'}}+{\cfrac {a''m}{4am''}}}},$

on aura, par l’article précédent,

${\frac {d^{2}v}{dt^{2}}}=-bkn'^{2}\varpi +{\frac {d^{2}\Psi }{dt^{2}}}.$

En substituant pour $\varpi$ sa valeur précédente, on aura

${\frac {d^{2}v}{dt^{2}}}=(1-b){\frac {d^{2}\Psi }{dt^{2}}}+3b{\frac {d^{2}\Psi '}{dt^{2}}}-2b{\frac {d^{2}\Psi ''}{dt^{2}}}\,;$

d’où l’on tire, en intégrant.

$v=(1-b)\Psi +3b\Psi '-2b\Psi ''.$

On trouvera pareillement

${\begin{aligned}v'\ =&{\frac {3a'm}{4am'}}b\Psi +\left(1-{\frac {9a'm}{4am'}}b\right)\Psi '+{\frac {3a'm}{2am'}}b\Psi '',\\v''=&-{\frac {a''m}{8am''}}b\Psi +{\frac {3a''m}{8am''}}b)\Psi '+\left(1-{\frac {a''m}{4am''}}\right)b\Psi ''\,;\end{aligned}}$

Ainsi les inégalités séculaires des trois premiers satellites qui, sans leur action mutuelle, seraient respectivement égales à $\Psi ,\Psi ',\Psi '',$