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THÉORIE DES SATELLITES DE JUPITER.

Sans l’action mutuelle des satellites, les deux équations

$n-3n'+2n''=0,\qquad \varepsilon -3\varepsilon '+2\varepsilon ''=180^{\circ }$

n’auraient aucune liaison entre elles ; d’ailleurs, il faudrait supposer qu’à l’origine les époques et les moyens mouvements des satellites ont été ordonnés de manière à satisfaire à ces équations, ce qui est infiniment peu vraisemblable et, dans ce cas même, la force la plus légère, telle que l’attraction des planètes et des comètes, aurait fini par changer ces rapports ; mais l’action réciproque des satellites fait disparaître ces invraisemblances et donne de la stabilité aux rapports précédents. En effet, on a par ce qui précède, à l’origine du mouvement,

${\frac {dv}{n'dt}}-{\frac {3dv'}{n'dt}}+{\frac {2dv''}{n'dt}}=\pm {\sqrt {{\frac {c}{n'^{2}}}-2k\cos(\varepsilon -3\varepsilon '+2\varepsilon '')}},$

$c$ étant moindre que $2kn'^{2}\,;$ il suffit donc, pour l’exactitude des théorèmes précédents, qu’à l’origine la fonction

${\frac {dv}{n'dt}}-{\frac {3dv'}{n'dt}}+{\frac {2dv''}{n'dt}}$

ait été comprise entre les limites

$+2{\sqrt {k}}\sin {\frac {1}{2}}(\varepsilon -3\varepsilon '+2\varepsilon '')$

et

$-2{\sqrt {k}}\sin {\frac {1}{2}}(\varepsilon -3\varepsilon '+2\varepsilon '')\,;$

et, pour la stabilité de ces théorèmes, il suffit que les attractions étrangères laissent toujours la fonction précédente dans ces limites.

Les observations nous apprennent que l’angle $\varpi$ est très petit, et qu’ainsi l’on peut, sans erreur sensible, supposer $\cos \varpi =1-{\frac {1}{2}}\varpi ^{2}\,;$ soit donc ${\frac {c+2kn'^{2}}{kn'^{2}}}={\text{ϐ}}^{2},$ ϐ étant arbitraire à cause de l’arbitraire $c$ qu’il renferme ; l’équation différentielle entre $\varpi$ et $t$ donnera

$\varpi ={\text{ϐ}}\sin(n't{\sqrt {k}}+\mathrm {A} ),$

$\mathrm {A}$ étant une nouvelle arbitraire.

Le mouvement des satellites de Jupiter étant déterminé par douze