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THÉORIE DES SATELLITES DE JUPITER.

XIV.

L’équation précédente donne, en l’intégrant,

$dt={\frac {\pm d\varphi }{\sqrt {c-2kn'^{2}\cos \varphi }}},$

$c$ étant une constante arbitraire dont la valeur peut donner lieu à trois cas différents que nous allons considérer :

1^o La constante $c$ peut surpasser $2kn'^{2},$ abstraction faite du signe ; alors elle est nécessairement positive ; l’angle $\pm \varphi$ croît indéfiniment et devient successivement égal à une, deux, trois, … circonférences.

2^o La constante cpeut être moindre que $2kn'^{2},\ k$ étant positif. Dans ce cas, le radical ${\sqrt {c-2kn'^{2}\cos \varphi }}$ devient imaginaire lorsque l’angle $\pm \varphi$ est égal à zéro, à une, deux, … circonférences ; il ne peut donc alors qu’osciller autour de $180^{\circ },$ en sorte que sa valeur moyenne est $180^{\circ }.$

3^o La constante $c$ peut être moindre que $-2kn'^{2},\ k$ étant négatif. Dans ce cas, le radical ${\sqrt {c-2kn'^{2}\cos \varphi }}$ devient imaginaire lorsque $\pm \varphi$ est égal à $180^{\circ }$ et en général à un nombre impair de demi-circonférences ; l’angle $\varphi$ ne peut donc alors qu’osciller autour de zéro, en sorte que sa valeur moyenne est nulle. Voyons lequel de ces trois cas a lieu dans la nature.

Nous trouverons dans la suite que $k$ est une quantité positive ; ainsi le troisième cas n’existe point et l’angle $\varphi$ doit ou croître indéfiniment ou osciller autour de $180^{\circ }.$ Supposons $\varphi =180^{\circ }\pm \varpi \,;$ le signe de $\varpi$ étant le même que celui du radical ${\sqrt {c-2kn'^{2}\cos \varphi }},$ on aura

$dt={\frac {d\varpi }{\sqrt {c+2kn'^{2}\cos \varpi }}}.$

Si les angles $\varphi$ et $\varpi$ croissent indéfiniment, $c$ est positif et plus grand