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THÉORIE DES SATELLITES DE JUPITER.

à l’action de $m$ sur $m',$ la fonction précédente donnera cette quantité

${\frac {-n'mm'\mathrm {G} }{2(n-n'-\mathrm {N} ')}}\left(a'{\frac {\partial \mathrm {B} ^{'(2)}}{\partial a'}}+4\mathrm {B} ^{'(2)}\right)n''dt\sin \varphi$

$={\frac {-n'mm'\mathrm {F'G} }{2a'(n-n'-\mathrm {N} ')}}n''dt\sin \varphi .$

On s’assurera aisément que ce terme est le seul sensible que produise la partie de $\operatorname {d} ''\mathrm {R} ''$ relative à l’action du second satellite, et que les actions de Jupiter, du Soleil, du premier et du quatrième satellite n’en produisent point de la même nature qui soient sensibles ; on aura donc, en observant que $n'+2n''$ à fort peu près,

${\frac {d^{2}\delta 'v''}{dt^{2}}}=-{\frac {3a''n'^{3}mm'\mathrm {F'G} \sin \varphi }{8a'(n-n'-\mathrm {N} ')}}.$

Quant à la valeur de ${\frac {d^{2}\delta 'v''}{dt^{2}}}$ elle ne renferme point de termes semblables. Cela posé, on aura

${\frac {d^{2}\delta '(v-3v'+2v'')}{dt^{2}}}$

$=-{\frac {3n'^{3}\mathrm {F'G} }{n-n'-\mathrm {N} '}}\left({\frac {a}{a'}}m'm''+{\frac {9}{4}}mm''+{\frac {a''}{4a'}}mm'\right)\sin \varphi .$

Dans le second membre de cette équation, $\varphi$ est égal à

$nt-3n't+2n''t+\varepsilon -3\varepsilon '+2\varepsilon ''\,;$

or cette dernière quantité ne diffère de $v-3v'+2v''$ que par des termes qui dépendent soit des excentricités et des inclinaisons des orbites, soit des forces perturbatrices ; en négligeant donc ces termes, nous pouvons supposer $\varphi =v-3v'+2v\,;$ dans ce cas,

$d^{2}\delta '(v-3v'+2v'')=d^{2}\varphi \,;$

ainsi, en faisant, pour abréger,

$k=-{\frac {3n'\mathrm {F'G} }{n-n'-\mathrm {N} '}}\left({\frac {a}{a'}}m'm''+{\frac {9}{4}}mm''+{\frac {a''}{4a'}}mm'\right),$

on aura

${\frac {d^{2}\varphi }{dt^{2}}}=kn'^{2}\sin \varphi .$