Page:Laplace - Œuvres complètes, Gauthier-Villars, 1878, tome 11.djvu/392

378

THÉORIE DES SATELLITES DE JUPITER.

On s’assurera facilement que ce terme est le seul sensible que produise la partie de $\operatorname {d} '\mathrm {R} '$ relative à l’action du troisième satellite. Enfin, on trouvera que ni l’action de Jupiter, ni celles du quatrième satellite et du Soleil, ne produisent aucun terme de ce genre dans la valeur de $\operatorname {d} '\mathrm {R} ',$ en sorte que, en réunissant les deux termes relatifs à l’action du premier et du troisième satellite, on aura

$\operatorname {d} '\mathrm {R} '={\frac {3n'^{2}mm''\mathrm {F'G} }{4a'(n-n'-\mathrm {N} ')}}dt\sin \varphi ,$

d’où l’on tire

${\frac {d^{2}\delta 'v'}{dt^{2}}}={\frac {9n'^{3}mm''\mathrm {F'G} \sin \varphi }{4(n-n'-\mathrm {N} ')}}.$

Il nous reste présentement à considérer la valeur de ${\frac {d^{2}\delta 'v''}{dt^{2}}}.$ On a

${\frac {d^{2}\delta 'v''}{dt^{2}}}={\frac {3a''n''\operatorname {d} ''\mathrm {R} ''}{dt}},$

$\mathrm {R} ''$ étant ce que devient $\mathrm {R}$ relativement au troisième satellite, et la caractéristique différentielle $\operatorname {d} ''$ étant uniquement relative aux coordonnées de ce satellite. Si l’on n’a égard qu’à l’action du second satellite sur le troisième, on a

$\mathrm {R} ''=-{\frac {m'}{2}}\mathrm {B} ^{'(0)}+m'\left({\frac {r''}{r'^{2}}}-\mathrm {B} ^{'(1)}\right)\cos(v''-v')-m'\mathrm {B} ^{'(2)}\cos 2(v''-v')-\ldots .$

En ne considérant que le terme $-m'\mathrm {B} ^{'(2)}\cos ^{2}(v''-v')$ de cette expression, on aura

$\operatorname {d} ''\mathrm {R} ''=-m'{\frac {\partial \mathrm {B} ^{'(2)}}{\partial r''}}dr''\cos 2(v''-v')+2m'\mathrm {B} ^{'(2)}dv''\sin 2(v''-v').$

Cette fonction différentielle renferme celle-ci

${\begin{aligned}&2m'{\frac {r'\delta r'}{a'^{2}}}a'{\frac {\partial \mathrm {B} ^{'(2)}}{\partial a'}}n''dt\sin 2(n''t-n't+\varepsilon ''-\varepsilon ')\\&-4m'\delta v'n''dt\mathrm {B} ^{'(2)}\cos 2(n''t-n't+\varepsilon ''-\varepsilon ').\end{aligned}}$

En substituant pour ${\frac {r'\delta r'}{a'^{2}}}$ et $\delta v'$ les parties de ces valeurs qui sont dues