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THÉORIE DES SATELLITES DE JUPITER.

La partie de $\mathrm {R} '$ relative à l’action du troisième satellite est

$\mathrm {R} '=-{\frac {1}{2}}m''\mathrm {B} ^{'(0)}+m''\left({\frac {r'}{r''^{2}}}-\mathrm {B} ^{'(1)}\right)\cos(v''-v')-m''\mathrm {B} ^{'(2)}\cos 2(v''-v')-\ldots .$

Si l’on n’a égard qu’au terme $-m''\mathrm {B} ^{'(2)}\cos 2(v''-v')$ de cette expression, on aura

$\operatorname {d} '\mathrm {R} '=-m''dr'{\frac {\partial \mathrm {B} ^{'(2)}}{\partial r'}}\cos 2(v''-v')-2m''B^{'(2)}dv'\sin 2(v''-v').$

Cette fonction différentielle renferme la suivante

${\begin{aligned}-m''&{\frac {d(r'\delta r')}{a'^{2}}}a'{\frac {\partial \mathrm {B} ^{'(2)}}{\partial a'}}\cos 2(n''t-n't+\varepsilon ''-\varepsilon ')\\&-2m''n'dt{\frac {r'\delta r'}{a'^{2}}}a'{\frac {\partial \mathrm {B} ^{'(2)}}{\partial a'}}\sin 2(n''t-n't+\varepsilon ''-\varepsilon ')\\&-2m''\mathrm {B} ^{'(2)}d\delta v'\sin 2(n''t-n't+\varepsilon ''-\varepsilon ')\\&+4m''\mathrm {B} ^{'(2)}n'dt\delta v'\cos 2(n''t-n't+\varepsilon ''-\varepsilon ').\end{aligned}}$

Mais, par l’article V, l’action de $m$ sur $m'$ donne

${\frac {r'\delta r'}{a'^{2}}}=-{\frac {n'm\mathrm {G} }{2(n-n'-\mathrm {N} ')}}\cos(nt-n't+\varepsilon -\varepsilon '),$

$\delta v'={\frac {n'm\mathrm {G} }{n-n'-\mathrm {N} '}}\sin(nt-n't+\varepsilon -\varepsilon ')\,;$

la fonction différentielle précédente donnera ainsi le terme

${\frac {n'^{2}mm''\mathrm {G} }{2(n-n'-\mathrm {N} ')}}\left(2\mathrm {B} ^{'(2)}+{\frac {1}{2}}a'{\frac {\partial \mathrm {B} ^{'(2)}}{\partial a'}}\right)dt\sin \varphi ,$

en observant que $n-n'=n'$ à fort peu près. Or on a, par l’article V,

$\mathrm {F} '=a'^{2}{\frac {\partial \mathrm {B} ^{'(2)}}{\partial a'}}+{\frac {2n'}{n'-n''}}a'\mathrm {B} ^{'(2)}\,;$

on aura donc, à très peu près,

${\frac {\mathrm {F} '}{2a'}}=2\mathrm {B} ^{'(2)}+{\frac {1}{2}}a'{\frac {\partial \mathrm {B} ^{'(2)}}{\partial a'}},$

ce qui change le terme précédent dans celui-ci

${\frac {n'^{2}mm''\mathrm {F'G} }{4a'(n-n'-\mathrm {N} ')}}dt\sin \varphi .$