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THÉORIE DES SATELLITES DE JUPITER.

différentielle $\operatorname {d} '$ se rapportant aux seules coordonnées du même satellite. Si l’on n’a égard qu’à l’action de $m$ sur $m',$ on a

$\mathrm {R} '=-{\frac {m}{2}}\mathrm {B} ^{(0)}+m\left({\frac {r'}{r^{2}}}-\mathrm {B} ^{(1)}\right)\cos(v'-v)-m\mathrm {B} ^{(2)}\cos 2(v'-v)-\ldots .$

Le terme $m\left({\frac {r'}{r^{2}}}-\mathrm {B} ^{(1)}\right)\cos(v'-v)$ de cette expression de $\mathrm {R} '$ produit dans $\operatorname {d} '\mathrm {R} '$ la fonction différentielle

$mdr'\left({\frac {1}{r^{2}}}-{\frac {\partial \mathrm {B} ^{(1)}}{\partial r'}}\right)\cos(v'-v)-mdv'\left({\frac {r'}{r^{2}}}-\mathrm {B} ^{(1)}\right)\sin(v'-v),$

et cette fonction développée renferme la suivante :

${\begin{aligned}m&{\frac {d(r'\delta r')}{a'^{2}}}\left({\frac {a'}{a^{2}}}-a'{\frac {\partial \mathrm {B} ^{(1)}}{\partial a'}}\right)\cos(n't-nt+\varepsilon '-\varepsilon )\\&-mn'dt{\frac {r'\delta r'}{a'^{2}}}\left({\frac {a'}{a^{2}}}-a'{\frac {\partial \mathrm {B} ^{(1)}}{\partial a'}}\right)\sin(n't-nt+\varepsilon '-\varepsilon )\\&-md\delta v'\left({\frac {a'}{a^{2}}}-\mathrm {B} ^{(1)}\right)\sin(n't-nt+\varepsilon '-\varepsilon )\\&-mn'dt\delta v'\left({\frac {a'}{a^{2}}}-\mathrm {B} ^{(1)}\right)\cos(n't-nt+\varepsilon '-\varepsilon ).\end{aligned}}$

En substituant pour ${\frac {r'\delta r'}{a'^{2}}}$ et $\delta v'$ leurs valeurs dues à l’action du troisième satellite et que nous avons données ci-dessus, en observant, de plus, que $2n'-2n''$ est très peu différent de $n',$ on trouvera que la fonction précédente renferme la quantité

${\frac {n'^{2}mm''\mathrm {F} '}{n-n'-\mathrm {N} '}}\left({\frac {a'}{2a^{2}}}-\mathrm {B} ^{(1)}+{\frac {1}{2}}a'{\frac {\partial \mathrm {B} ^{(1)}}{\partial a'}}\right)dt\sin \varphi \,;$

mais on a à très peu près $n^{2}=4n'^{2}$ et, par conséquent, $4a^{3}=a'^{3}$ ou ${\frac {a'}{2a^{2}}}={\frac {2a}{a'^{2}}}\,;$ le terme précédent deviendra ainsi

${\frac {n'^{2}mm''\mathrm {F'G} dt\sin \varphi }{2a'(n-n'-\mathrm {N} ')}}.$

On s’assurera facilement que ce terme est le seul sensible que produise la partie de $\operatorname {d} '\mathrm {R} '$ relative à l’action du premier satellite.