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THÉORIE DES SATELLITES DE JUPITER.

le centre du satellite, sera donc

$j\left(1-{\frac {\mathrm {S} -j}{j}}{\frac {r}{\mathrm {D} }}\right).$

Soient

$r=a+\delta r,\qquad \mathrm {D=D'+\delta D} ,$

$a$ et $\mathrm {D} '$ étant les moyennes distances du satellite à Jupiter et de Jupiter au Soleil ; il est clair que la variation de $2\alpha ,$ due aux variations de $r$ et de $\mathrm {D} ,$ sera

$(\mathrm {S} -j)\left({\frac {a\delta \mathrm {D} }{\mathrm {D} '^{2}}}-{\frac {\delta r}{\mathrm {D} '}}\right).$

Pour avoir la variation qui en résulte dans la durée $2\mathrm {T} ,$ nous observerons que cette quantité exprimant la durée entière de l’éclipse du satellite lorsqu’il est dans ses nœuds, elle est à fort peu près proportionnelle à $j\left(1-{\frac {\mathrm {S} -j}{j}}{\frac {a}{\mathrm {D} '}}\right)\,;$ la variation de $2\mathrm {T} ,$ correspondante à celle de $2\alpha ,$ sera donc à fort peu près

$2\mathrm {T} {\frac {\mathrm {S} -j}{j}}\left({\frac {a\delta \mathrm {D} }{\mathrm {D} '^{2}}}-{\frac {\delta r}{\mathrm {D} '}}\right),$

la fraction ${\frac {\mathrm {S} -j}{j}}{\frac {a}{\mathrm {D} '}}$ étant fort petite et pouvant être négligée vis-à-vis de l’unité. Considérons d’abord le terme

$2\mathrm {T} {\frac {\mathrm {S} -j}{j}}{\frac {a\delta \mathrm {D} }{\mathrm {D} '^{2}}}.$

$\delta \mathrm {D}$ est égal à $\mathrm {D} '$ multiplié par l’excentricité de l’orbite de Jupiter et par le cosinus de son anomalie moyenne ; et, si l’on nomme $\mathrm {A} '$ cette anomalie, on aura

$\delta \mathrm {D=0{,}0480767D'\cos A'} .$

Le diamètre de Jupiter réduit à la moyenne distance du Soleil à la Terre est de $203'',$ à fort peu près, et celui du Soleil, observé à la même distance, est de $1924''\,;$ le terme précédent devient ainsi

$2\mathrm {T} .0{,}40759{\frac {a}{\mathrm {D} '}}\cos \mathrm {A} '.$