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THÉORIE DES SATELLITES DE JUPITER.

$t$ exprimant le nombre des années juliennes écoulées depuis l’origine du temps. Au moyen de ces équations, on aura les variations différentielles de $\Psi$ et de $\mathrm {I}$ par celles de $\Psi ',\mathrm {I} ',$ qui sont données par la théorie de Jupiter ; on pourra donc ainsi déterminer les variations séculaires du nœud et de l’inclinaison de l’équateur de Jupiter sur son orbite. Pour déterminer ϐ, l’équation $(k^{\text{ıv}})$ donne

${\begin{aligned}&{\text{ϐ}}=\mathrm {E} \left(\rho -{\frac {1}{2}}\varphi \right)\mathrm {MT} \\&+{\frac {na{\sqrt {a}}}{\mathrm {M} }}\mathrm {E} \left[m\nu (0){\sqrt {a}}+m'\nu '(1){\sqrt {a'}}+m''\nu ''(2){\sqrt {a''}}+m'''\nu '''(3){\sqrt {a'''}}\right].\end{aligned}}$

Si l’on multiplie les quatre équations (L) respectivement par $m'{\sqrt {a'}},\ m''{\sqrt {a''}},\ m'''{\sqrt {a'''}},$ et qu’ensuite on les ajoute, on aura, en vertu des relations trouvées dans l’article VII, entre les quantités $(0,1)$ et $(1,0),\ (0,2)$ et $(2,0),\ldots ,$

${\begin{aligned}m&\nu (0){\sqrt {a}}+m'\nu '(1){\sqrt {a'}}+m''\nu ''(2){\sqrt {a''}}+m'''\nu '''(3){\sqrt {a'''}}\\=&\quad \ m\ \ {\begin{array}{|c|}\hline \ 0\ \\\hline \end{array}}{\sqrt {a}}\ \ (1-\nu \ \ )+m'\ \ {\begin{array}{|c|}\hline \ 1\ \\\hline \end{array}}{\sqrt {a'}}\ \ (1-\nu '\ \ )\\&+m''{\begin{array}{|c|}\hline \ 2\ \\\hline \end{array}}{\sqrt {a''}}(1-\nu '')+m'''{\begin{array}{|c|}\hline \ 3\ \\\hline \end{array}}{\sqrt {a'''}}(1-\nu ''')\,;\end{aligned}}$

on a ensuite, par l’article VII,

${\begin{array}{|c|}\hline \ 0\ \\\hline \end{array}}{\sqrt {a}}={\frac {3\mathrm {M^{2}T} }{4n}}{\sqrt {a}}={\frac {3\mathrm {M^{2}T} }{4}}a^{2},$

et l’on trouvera des expressions semblables pour

${\begin{array}{|c|}\hline \ 1\ \\\hline \end{array}}{\sqrt {a'}},\quad {\begin{array}{|c|}\hline \ 2\ \\\hline \end{array}}{\sqrt {a''}},\quad \ldots .$

On aura, cela posé, cette expression fort simple de ϐ,

${\text{ϐ}}=\mathrm {\frac {3EMT}{4}} \left[{\frac {4}{3}}\left(\rho -{\frac {1}{2}}\varphi \right)\right.$

$\left.+m(1-\nu )a^{2}+m'(1-\nu ')a'^{2}+m''(1-\nu '')a''^{2}+m'''(1-\nu ''')a'''^{2}{\begin{aligned}\\\\\end{aligned}}\right].$

XI.

Considérons présentement les inégalités périodiques du mouvement des satellites en latitude. Pour cela, nous reprendrons l’équation