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THÉORIE DES SATELLITES DE JUPITER.

$t$ étant ici le nombre des années juliennes écoulées depuis l’époque où l’on fixe l’origine du temps.

Les valeurs de $l,\Lambda ,\ l_{1},\Lambda _{1},\ l_{2},\Lambda _{2},\ l_{3},\Lambda _{3}$ sont constantes et arbitraires, mais les valeurs de $\Psi$ et de $\mathrm {I}$ changent par le mouvement de l’orbite et des points équinoxiaux de Jupiter. Pour déterminer ces variations, nous observerons que l’on a, par ce qui précède,

${\begin{aligned}\Psi \sin \mathrm {I} =&-\sum (\mathrm {L-L'} )\sin(qt-\Lambda ),\\\Psi \cos \mathrm {I} =&\quad \,\sum (\mathrm {L-L'} )\cos(qt-\Lambda ),\end{aligned}}$

ce qui donne

${\begin{aligned}{\frac {d(\Psi \sin \mathrm {I} )}{dt}}=&-\sum q(\mathrm {L-L'} )\cos(qt-\Lambda ),\\{\frac {d(\Psi \cos \mathrm {I} )}{dt}}=&-\sum q(\mathrm {L-L'} )\sin(qt-\Lambda ).\end{aligned}}$

Mais, si l’on nomme $\Psi '$ l’inclinaison de l’orbite de Jupiter sur le plan fixe, et $\mathrm {I} '$ la longitude de son nœud ascendant sur ce plan, on a

${\begin{aligned}\Psi '\sin \mathrm {I} '=&-\sum \mathrm {L} '\sin(qt-\Lambda ),\\\Psi '\cos \mathrm {I} '=&\quad \,\sum \mathrm {L} '\cos(qt-\Lambda ),\end{aligned}}$

ce qui donne

${\begin{aligned}{\frac {d(\Psi '\sin \mathrm {I} ')}{dt}}=&-\sum q\mathrm {L} '\cos(qt-\Lambda ),\\{\frac {d(\Psi '\cos \mathrm {I} ')}{dt}}=&-\sum q\mathrm {L} '\sin(qt-\Lambda )\,;\end{aligned}}$

de plus, le système des équations $(k),\ (k'),\ (k''),\ (k''')$ et $(k^{\text{ıv}})$ donne pour $q\mathrm {L}$ une expression de cette forme

$q\mathrm {L} ={\text{ϐ}}(\mathrm {L-L'} ).$

On aura donc

${\begin{aligned}{\frac {d(\Psi \sin \mathrm {I} )}{dt}}=&-{\text{ϐ}}\Psi \cos \mathrm {I} -{\frac {d(\Psi '\sin \mathrm {I} ')}{dt}},\\{\frac {d(\Psi \cos \mathrm {I} )}{dt}}=&\quad \ {\text{ϐ}}\Psi \sin \mathrm {I} -{\frac {d(\Psi '\cos \mathrm {I} ')}{dt}},\end{aligned}}$

d’où l’on tire

${\begin{aligned}{\frac {d\Psi }{dt}}=&-{\frac {d\Psi '}{dt}}\cos(\mathrm {I'-I} )+\Psi '{\frac {d\mathrm {I} '}{dt}}\sin(\mathrm {I'-I} ),\\\Psi {\frac {d\mathrm {I} }{dt}}=&-{\text{ϐ}}\Psi -{\frac {d\Psi '}{dt}}\sin(\mathrm {I'-I} )-\Psi '{\frac {d\mathrm {I} '}{dt}}\cos(\mathrm {I'-I} ),\end{aligned}}$