Page:Laplace - Œuvres complètes, Gauthier-Villars, 1878, tome 11.djvu/363

349

THÉORIE DES SATELLITES DE JUPITER.

l’équation différentielle en $s$ deviendra donc

${\begin{aligned}0={\frac {d^{2}s}{dt^{2}}}&+n^{2}s\left(1-{\frac {3\delta a}{a}}+3{\frac {\rho -{\frac {1}{2}}\varphi }{a^{2}}}+{\frac {m'\alpha ^{3}}{2}}b_{\frac {3}{2}}^{(0)}\right)\\&-2n^{2}{\frac {\rho -{\frac {1}{2}}\varphi }{a^{2}}}s_{1}-n^{2}m'\alpha ^{2}b_{\frac {3}{2}}^{(1)}s'\cos(n't-nt+\varepsilon '-\varepsilon ).\end{aligned}}$

Or on a, par l’article IV,

${\frac {3\delta a}{a}}={\frac {\rho -{\frac {1}{2}}\varphi }{a''}}-{\frac {1}{2}}m'\alpha ^{2}{\frac {db_{\frac {1}{2}}^{(0)}}{d\alpha }},$

partant

${\begin{aligned}0={\frac {d^{2}s}{dt^{2}}}&+n^{2}s\left[1+2{\frac {\rho -{\frac {1}{2}}\varphi }{a^{2}}}+{\frac {1}{2}}m'\alpha ^{2}\left(\alpha b_{\frac {3}{2}}^{(0)}+{\frac {db_{\frac {1}{2}}^{(0)}}{d\alpha }}\right)\right]\\&-2n^{2}{\frac {\rho -{\frac {1}{2}}\varphi }{a^{2}}}s_{1}-n^{2}m'\alpha ^{2}b_{\frac {3}{2}}^{(1)}s'\cos(n't-nt+\varepsilon '-\varepsilon ).\end{aligned}}$

Pour intégrer cette équation différentielle, supposons

${\begin{aligned}s\ \,=&l\ \sin(n\ \,t+\varepsilon \ +pt-\Lambda ),\\s'\,=&l'\sin(n't+\varepsilon '+pt-\Lambda ),\\s_{1}=&\mathrm {L} \sin(n\ t+\varepsilon \ +pt-\Lambda )\,;\end{aligned}}$

la comparaison des coefficients de $\sin(nt+\varepsilon +pt-\Lambda )$ donnera

$0=l\left[{\frac {p}{n}}-{\frac {\rho -{\frac {1}{2}}\varphi }{a^{2}}}-{\frac {1}{4}}m'\alpha ^{2}\left(\alpha b_{\frac {3}{2}}^{(0)}+{\frac {db_{\frac {1}{2}}^{(0)}}{d\alpha }}\right)\right]$

$+{\frac {\rho -{\frac {1}{2}}\varphi }{a^{2}}}\mathrm {L} +{\frac {m'\alpha ^{2}b_{\frac {3}{2}}^{(1)}l'}{4}}.$

On trouvera facilement, par l’article VI,

$\alpha b_{\frac {3}{2}}^{(0)}+{\frac {db_{\frac {1}{2}}^{(0)}}{d\alpha }}=-{\frac {3b_{-{\frac {1}{2}}}^{(1)}}{\left(1-\alpha ^{2}\right)^{2}}}=b_{\frac {3}{2}}^{(1)}\,;$

en multipliant donc par $n\mathrm {T}$ l’équation précédente entre $l,l'$ et $\mathrm {L,\ T}$ étant la durée d’une année julienne, on aura

$0=l\left[p\mathrm {T} -{\frac {\rho -{\frac {1}{2}}\varphi }{a^{2}}}n\mathrm {T} +{\frac {3m'n\mathrm {T} }{4}}{\frac {\alpha ^{2}b_{-{\frac {1}{2}}}^{(1)}}{\left(1-\alpha ^{2}\right)^{2}}}\right]$

$+{\frac {\rho -{\frac {1}{2}}\varphi }{a^{2}}}n\mathrm {TL} -{\frac {3m'n\mathrm {T} }{4}}{\frac {\alpha ^{2}b_{-{\frac {1}{2}}}^{(1)}}{\left(1-\alpha ^{2}\right)^{2}}}l'.$

On a, par l’article VII,

${\frac {\rho -{\frac {1}{2}}\varphi }{a^{2}}}n\mathrm {T} =(0),\qquad -{\frac {3m'n\mathrm {T} }{4}}{\frac {\alpha ^{2}b_{-{\frac {1}{2}}}^{(1)}}{\left(1-\alpha ^{2}\right)^{2}}}=(0,1)\,;$