Page:Laplace - Œuvres complètes, Gauthier-Villars, 1878, tome 11.djvu/359

345

THÉORIE DES SATELLITES DE JUPITER.

devenir sensible, quoique multiplié par $h\,;$ il est donc nécessaire d’y avoir égard. Ainsi, en négligeant $\mathrm {M}$ relativement à $n,$ en nommant $\mathrm {D} '$ la moyenne distance de Jupiter au Soleil, et en observant que l’on a, à très peu près, $\mathrm {M^{2}={\frac {S}{D'^{3}}}} ,$ l’équation différentielle précédente deviendra

${\begin{aligned}0=&{\frac {d^{2}(r\delta r)}{a^{2}dt^{2}}}+\mathrm {N} ^{2}{\frac {r\delta r}{a^{2}}}-{\frac {1}{2}}\mathrm {M} ^{2}-3\mathrm {M} ^{2}\cos 2(nt-\mathrm {M} t+\varepsilon -\mathrm {A} )\\&-9\mathrm {M} ^{2}h\cos(nt-2\mathrm {M} t+ft+\varepsilon -2\mathrm {A} +\Gamma ).\end{aligned}}$

Nous n’aurons égard, dans la valeur de ${\frac {r\delta r}{a^{2}}},$ qu’aux termes qui dépendent des deux angles

$2nt-2\mathrm {M} t+2\varepsilon -2\mathrm {A} \qquad {\text{et}}\qquad nt-2\mathrm {M} t+ft+\varepsilon -2\mathrm {A} +\Gamma ,$

parce que nous avons déjà considéré, dans nos articles précédents, les termes de cette valeur, qui sont constants, et ceux qui contribuent aux variations de l’excentricité et de l’aphélie. Cela posé, on aura, en intégrant l’équation précédente et en négligeant $\mathrm {M} ,f$ et $\mathrm {N} -n$ vis-à-vis de $n,$

${\begin{aligned}{\frac {r\delta r}{a^{2}}}=&-{\frac {\mathrm {M} ^{2}}{n^{2}}}\cos 2(nt-\mathrm {M} t+\varepsilon -\mathrm {A} )\\&+{\frac {9\mathrm {M} ^{2}h}{2n(2\mathrm {M+N} -n-f)}}\cos(nt-2\mathrm {M} t+ft+\varepsilon -2\mathrm {A} +\Gamma ).\end{aligned}}$

Si l’on substitue cette valeur dans la formule (2) de l’article II, on trouvera, en n’ayant égard qu’aux mêmes arguments,

${\begin{aligned}\delta v=&{\frac {11}{8}}{\frac {\mathrm {M} ^{2}}{n^{2}}}\sin(2nt-2\mathrm {M} t+2\varepsilon -2\mathrm {A} )\\&-{\frac {9\mathrm {M} ^{2}h}{n(2\mathrm {M+N} -n-f)}}\sin(nt-2\mathrm {M} t+ft+\varepsilon -2\mathrm {A} +\Gamma ).\end{aligned}}$

La valeur de $\delta v$ renferme encore un terme sensible dépendant de l’excentricité de l’orbite de Jupiter. En effet, si dans le terme $-{\frac {\mathrm {S} r^{2}}{4\mathrm {D} ^{3}}}$ de