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THÉORIE DES SATELLITES DE JUPITER.

On trouvera de la même manière, en n’ayant égard qu’à l’action de Jupiter et du satellite $m$ sur $m',$

${\begin{aligned}\int {\frac {\operatorname {d} '\mathrm {R} '}{m}}=&-{\frac {1+m'}{m}}\mathrm {V} '-\int {\frac {dx'd^{2}x+dy'd^{2}y+dz'd^{2}z}{dt^{2}}}\\&-\int \operatorname {d} '\left[(x'-x)^{2}+(y'-y)^{2}+(z'-z)^{2}\right]^{-{\frac {1}{2}}},\end{aligned}}$

partant

${\begin{aligned}\int ({\frac {\operatorname {d} \mathrm {R} }{m'}}+{\frac {\operatorname {d} '\mathrm {R} '}{m}}=&-{\frac {1+m}{m'}}\mathrm {V} -{\frac {1+m'}{m}}\mathrm {V} '-{\frac {dxdx'+dydy'+dzdz'}{dt^{2}}}\\&-\left[(x'-x)^{2}+(y'-y)^{2}+(z'-z)^{2}\right]^{-{\frac {1}{2}}}.\end{aligned}}$

Si l’on substitue cette valeur dans l’expression précédente de

${\frac {\delta v}{anm'}}+{\frac {\delta v'}{a'n'm}},$

il est visible qu’il ne peut en résulter de termes divisés par

$(n-2n'+f)^{2}\,;$

en n’ayant donc égard qu’aux termes qui ont ce diviseur, on aura

${\frac {\delta v}{anm'}}+{\frac {\delta v'}{a'n'm}}=0$

et, par conséquent,

$\delta v'=-{\frac {a'n'm}{anm'}}\delta v=-{\frac {a'm}{2am'}}\delta v,$

à cause de $n=2n'$ à très peu près. Partant

$\delta v'={\frac {3n'^{2}m}{2(n-2n'+f)^{2}}}{\frac {a'}{a}}\left(\mathrm {F} h+{\frac {a}{a'}}\mathrm {G} h'\right)$

$\times \sin(nt-2n't+\varepsilon -2\varepsilon '+ft+\Gamma ).$

Le second satellite étant relativement au troisième ce que le premier est relativement au second, on aura la partie de $\delta v'$ qui dépend de l’angle $n't-2n''t+\varepsilon '-2\varepsilon ''+ft+\Gamma$ en changeant dans l’expression précédente de $\delta v$ les quantités $m',n,n',\varepsilon ,\varepsilon ',a,a',\mathrm {F,G} ,h$ et $h'$ dans $m'',n',n'',\varepsilon ',\varepsilon '',a',a'',\mathrm {F',G'} ,h'$ et $h'',$ ce qui donne

$\delta v'=-{\frac {3m''n'^{2}}{2(n'-2n''+f)^{2}}}\left(\mathrm {F} 'h'+{\frac {a'}{a''}}\mathrm {G} 'h''\right)$

$\times \sin(n't-2n''t+\varepsilon '-2\varepsilon ''+ft+\Gamma ).$