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THÉORIE DES SATELLITES DE JUPITER.

satellites sur $m$ n’en produit point de semblables, en ayant même égard au rapport qui existe entre les moyens mouvements des trois premiers satellites, et dont nous avons parlé dans l’article V. En ne considérant donc que les termes affectés du double signe intégral et qui dépendent de l’angle $nt-2n't+\varepsilon -2\varepsilon ',$ et en négligeant les carrés des excentricités des orbites, l’équation (2) de l’article II donnera

$\delta v=-{\frac {3n^{2}m'}{2(n-2n'+f)^{2}}}\left(\mathrm {F} h+{\frac {a}{a'}}\mathrm {G} h'\right)\sin(nt-2n't+\varepsilon -2\varepsilon '+ft+\Gamma ).$

Il est facile d’en conclure la partie de $\delta v'$ qui dépend du même angle. Pour cela nous observerons que si l’on réunit les deux valeurs de $\delta v$ et de $\delta v'$ qui résultent de la formule (2) de l’article II, si l’on n’a égard qu’aux termes qui renferment de doubles intégrales et que l’on néglige les carrés des excentricités des orbites, on aura

${\frac {\delta v}{anm'}}+{\frac {\delta v'}{a'n'm}}=3\int dt\int \left({\frac {\operatorname {d} \mathrm {R} }{m'}}+{\frac {\operatorname {d} '\mathrm {R} '}{m}}\right),$

$\mathrm {R} '$ étant ce que devient $\mathrm {R}$ relativement au second satellite et la caractéristique différentielle $\operatorname {d} '$ se rapportant aux seules coordonnées de ce satellite.

Si dans l’expression de $\mathrm {R}$ de l’article I on n’a égard qu’à l’action de Jupiter et du satellite $m',$ on aura, en négligeant le produit de $m'$ par $\mathrm {V}$ et ses différences partielles,

${\begin{aligned}\int {\frac {\operatorname {d} \mathrm {R} }{m'}}=&-{\frac {1+m}{m'}}\mathrm {V} +\int {\frac {x'dx+y'dy+z'dz}{r'^{3}}}\\&-\int \operatorname {d} \left[(x'-x)^{2}+(y'-y)^{2}+(z'-z)^{2}\right]^{-{\frac {1}{2}}}\,;\end{aligned}}$

or, on a, à très peu près,

${\frac {x'}{r'^{3}}}=-{\frac {d^{2}x'}{dt^{2}}},\qquad {\frac {y'}{r'^{3}}}=-{\frac {d^{2}y'}{dt^{2}}},\qquad {\frac {z'}{r'^{3}}}=-{\frac {d^{2}z'}{dt^{2}}},$

partant

${\begin{aligned}\int {\frac {\operatorname {d} \mathrm {R} }{m'}}=&-{\frac {1+m}{m'}}\mathrm {V} -\int {\frac {dxd^{2}x'+dyd^{2}y'+dzd^{2}z'}{dt^{2}}}\\&-\int \operatorname {d} \left[(x'-x)^{2}+(y'-y)^{2}+(z'-z)^{2}\right]^{-{\frac {1}{2}}}.\end{aligned}}$