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THÉORIE DES SATELLITES DE JUPITER.

de $\delta v$ correspondante à l’expression précédente de ${\frac {r\delta r}{a^{2}}},$ en changeant dans celle-ci les cosinus en sinus et en la multipliant par $-2.$ Les mêmes opérations sur les valeurs de ${\frac {r'\delta r'}{a'^{2}}},{\frac {r''\delta r''}{a''^{2}}},{\frac {r'''\delta r'''}{a'''^{2}}}$ donneront les valeurs correspondantes de $\delta v',\delta v''$ et $\delta v'''.$

On peut considérer ces différentes valeurs comme étant relatives à des orbes elliptiques, dont les excentricités et les positions des aphélies seraient variables ; en comparant les valeurs données par cette supposition à celles que nous venons de trouver, on aura facilement les variations des excentricités et des aphélies. Tout se réduit donc à former et à résoudre les équations $(i),(i'),(i''),$ et $(i''')\,;$ mais nous verrons dans la suite que ces équations sont incomplètes et que les rapports qui existent entre les moyens mouvements des trois premiers satellites leur ajoutent de nouveaux termes sensibles, quoique dépendants des carrés et des produits des forces perturbatrices.

VIII.

Le moyen mouvement du premier satellite étant, à fort peu près, double de celui du second, et le moyen mouvement du second étant, à fort peu près, double de celui du troisième, il est visible que les termes qui dépendent des angles $nt-2n't+\varepsilon -2\varepsilon ',\ n't-2n''t+\varepsilon '-2\varepsilon '',$ et qui subissent deux intégrations, doivent considérablement augmenter par ces intégrations ; il est donc important de les déterminer avec soin. Si l’on considère les équations (1) et (2) de l’article II, on voit que les termes dont il s’agit résultent, dans l’expression de $\delta v,$ de la double intégrale $3a\int ndt\int \operatorname {d} \mathrm {R} .$ Pour les obtenir, considérons d’abord la partie

${\frac {m'r\cos(v'-v)}{r'^{2}}}-m'\mathrm {B} ^{(1)}\cos(v'-v)$

de l’expression de $\mathrm {R} ,$ donnée dans l’article II. Si l’on y substitue

$a'\left[1+h'\cos(n't+\varepsilon '-ft-\Gamma )\right]$

au lieu de $r',$ et

$n't+\varepsilon '-2h'\sin(n't+\varepsilon '-ft-\Gamma )$