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THÉORIE DES SATELLITES DE JUPITER.

$h,h',h'',h''',$ on aura une équation en $f$ du quatrième degré. On aura de plus les valeurs de $h',h'',h''',$ au moyen de $h,$ sous cette forme

$h'={\text{ϐ}}'h,\qquad h''={\text{ϐ}}''h,\qquad h'''={\text{ϐ}}'''h,$

${\text{ϐ}}',{\text{ϐ}}'',{\text{ϐ}}''',$ étant des fonctions de $f,$ et la constante $h$ étant arbitraire.

Soient $f,f_{1},f_{2},f_{3}$ les quatre racines de l’équation en $f,$ on aura, par la nature des équations linéaires,

${\begin{aligned}{\frac {r\delta r}{a^{2}}}=&\quad \ h\ \ \cos(nt+\varepsilon -f\ t-\Gamma \ \ )+h_{1}\cos(nt+\varepsilon -f_{1}t-\Gamma _{1})\\&+h_{2}\cos(nt+\varepsilon -f_{2}t-\Gamma _{2})+h_{3}\cos(nt+\varepsilon -f_{3}t-\Gamma _{3}),\end{aligned}}$

$h,h_{1},h_{2},h_{3},\Gamma ,\Gamma _{1},\Gamma _{2},\Gamma _{3}$ étant des constantes arbitraires, et $t$ désignant ici le nombre des années juliennes écoulées depuis l’époque où l’on fixe l’origine du temps.

Si l’on nomme ${\text{ϐ}}_{1}',{\text{ϐ}}_{1}'',{\text{ϐ}}_{1}''',{\text{ϐ}}_{2}',{\text{ϐ}}_{2}'',{\text{ϐ}}_{2}''',{\text{ϐ}}_{3}',{\text{ϐ}}_{3}'',{\text{ϐ}}_{3}'''$ ce que deviennent ${\text{ϐ}}',{\text{ϐ}}'',{\text{ϐ}}'''$ lorsqu’on y change successivement $f$ dans $f_{1},f_{2},f_{3},$ on aura

${\begin{aligned}&{\frac {r'\delta r'}{a'^{2}}}\ \ =\\&\quad \ {\text{ϐ}}'\ h\ \cos(n'\ \ t+\varepsilon '\ \ -f\,\ t-\Gamma \ \ )+{\text{ϐ}}'_{1}h_{1}\cos(n'\ \ t+\varepsilon '\ \ -f_{1}t-\Gamma _{1})\\&+{\text{ϐ}}'_{2}h_{2}\cos(n'\ \ t+\varepsilon '\ \ -f_{2}t-\Gamma _{2})+{\text{ϐ}}'_{3}h_{3}\cos(n'\ \ t+\varepsilon '\ \ -f_{3}t-\Gamma _{3}),\\&{\frac {r''\delta r''}{a''^{2}}}\ =\\&\quad \ {\text{ϐ}}''\ h\ \cos(n''\ t+\varepsilon ''\ -f\ t-\Gamma \ \ )+{\text{ϐ}}''_{1}h_{1}\cos(n''\ t+\varepsilon ''\ -f_{1}t-\Gamma _{1})\\&+{\text{ϐ}}''_{2}h_{2}\cos(n''\ t+\varepsilon ''\ -f_{2}t-\Gamma _{2})+{\text{ϐ}}''_{3}h_{3}\cos(n''\ t+\varepsilon ''\ -f_{3}t-\Gamma _{3}),\\&{\frac {r'''\delta r'''}{a'''^{2}}}=\\&\quad \ {\text{ϐ}}'''h\,\ \cos(n'''t+\varepsilon '''-f\,\ t-\Gamma \ \ )+{\text{ϐ}}'''_{1}h_{1}\cos(n'''t+\varepsilon '''-f_{1}t-\Gamma _{1})\\&+{\text{ϐ}}'''_{2}h_{2}\cos(n'''t+\varepsilon '''-f_{2}t-\Gamma _{2})+{\text{ϐ}}'''_{3}h_{3}\cos(n'''t+\varepsilon '''-f_{3}t-\Gamma _{3}).\end{aligned}}$

Toutes ces expressions sont complètes, puisqu’elles renferment deux fois autant d’arbitraires qu’il y a d’équations différentielles du second ordre en $r\delta r,r'\delta 'r',r''\delta ''r'',r'''\delta '''r'''.$

La formule (2) de l’article II donne, en négligeant le carré des excentricités et leur produit par les forces perturbatrices,

$\delta v=2{\frac {d{\cfrac {r\delta r}{a^{2}}}}{ndt}},$

d’où il suit que, $f$ étant très petit relativement à $n,$ on aura l’expression