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THÉORIE DES SATELLITES DE JUPITER.

on vertu de ces changements ; on aura

$(i')\qquad \qquad \left\{{\begin{aligned}0=&h'\left[f-(1)-{\begin{array}{|c|}\hline \ 1\ \\\hline \end{array}}-(1,0)-(1,2)-(1,3)\right]\\&+{\begin{array}{|c|}\hline 1,\ 0\\\hline \end{array}}h+{\begin{array}{|c|}\hline 1,\ 2\\\hline \end{array}}h''+{\begin{array}{|c|}\hline 1,\ 3\\\hline \end{array}}h'''.\end{aligned}}\right.$

Si l’on désigne semblablement par $(2),{\begin{array}{|c|}\hline \ 2\ \\\hline \end{array}},(2,1),{\begin{array}{|c|}\hline 2,\ 1\\\hline \end{array}},$$(2,0),$${\begin{array}{|c|}\hline 2,\ 0\\\hline \end{array}},$$(2,3),{\begin{array}{|c|}\hline 2,\ 3\\\hline \end{array}}$ ce que deviennent les quantités $(0),{\begin{array}{|c|}\hline \ 0\ \\\hline \end{array}},(0,1),$${\begin{array}{|c|}\hline 0,\ 1\\\hline \end{array}},$$(0,2),$${\begin{array}{|c|}\hline 0,\ 2\\\hline \end{array}},(0,3),{\begin{array}{|c|}\hline 0,\ 3\\\hline \end{array}}$ lorsque l’on y change ce qui est relatif à $m$ dans ce qui est relatif à $m'',$ et réciproquement ; si l’on désigne encore par $(3),{\begin{array}{|c|}\hline \ 3\ \\\hline \end{array}},(3,1),{\begin{array}{|c|}\hline 3,\ 1\\\hline \end{array}},$$(3,2),$${\begin{array}{|c|}\hline 3,\ 2\\\hline \end{array}},$$(3,0),{\begin{array}{|c|}\hline 3,\ 0\\\hline \end{array}}$ ce que deviennent les mêmes quantités lorsque l’on y change ce qui est relatif à $m$ dans ce qui est relatif à $m''',$ et réciproquement, on aura les deux équations

$(i'')\qquad \qquad \left\{{\begin{aligned}0=&h''\left[f-(2)-{\begin{array}{|c|}\hline \ 2\ \\\hline \end{array}}-(2,0)-(2,1)-(2,3)\right]\\&+{\begin{array}{|c|}\hline 2,\ 0\\\hline \end{array}}h+{\begin{array}{|c|}\hline 2,\ 1\\\hline \end{array}}h'+{\begin{array}{|c|}\hline 2,\ 3\\\hline \end{array}}h''',\end{aligned}}\right.$

$(i''')\qquad \qquad \left\{{\begin{aligned}0=&h'''\left[f-(3)-{\begin{array}{|c|}\hline \ 3\ \\\hline \end{array}}-(3,0)-(3,1)-(3,2)\right]\\&+{\begin{array}{|c|}\hline 3,\ 0\\\hline \end{array}}h+{\begin{array}{|c|}\hline 3,\ 1\\\hline \end{array}}h'+{\begin{array}{|c|}\hline 3,\ 2\\\hline \end{array}}h''.\end{aligned}}\right.$

Il existe entre les fonctions $(0,1)$ et $(1,0),\ (0,2)$ et $(2,0),\ldots$ des rapports remarquables qui peuvent servir à déterminer ces fonctions les unes par les autres. On a, par ce qui précède,

$(0,1)=-{\frac {3m'n\mathrm {T} }{4}}{\frac {\alpha ^{2}b_{-{\frac {1}{2}}}^{(1)}}{\left(1-\alpha ^{2}\right)^{2}}}.$

On a ensuite, par l’article précédent,

$\left(a^{2}-2aa'\cos \theta +a'^{2}\right)^{\frac {1}{2}}=a'\left({\frac {1}{2}}b_{-{\frac {1}{2}}}^{(0)}+b_{-{\frac {1}{2}}}^{(1)}\cos \theta +b_{-{\frac {1}{2}}}^{(2)}\cos 2\theta +\ldots \right).$

Supposons qu’en développant le premier membre de cette équation suivant les cosinus de l’angle $\theta$ et de ses multiples on ait la série