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THÉORIE DES SATELLITES DE JUPITER.

précédent, on trouvera

${\begin{aligned}\alpha ^{2}{\frac {db_{\frac {1}{2}}^{(0)}}{d\alpha }}+{\frac {1}{2}}\alpha ^{3}{\frac {d^{2}b_{\frac {1}{2}}^{(0)}}{d\alpha ^{2}}}=&-{\frac {3\alpha ^{2}b_{-{\frac {1}{2}}}^{(1)}}{2\left(1-\alpha ^{2}\right)^{2}}},\\\alpha b_{\frac {1}{2}}^{(1)}-\alpha ^{2}{\frac {db_{\frac {1}{2}}^{(1)}}{d\alpha }}-{\frac {1}{2}}\alpha ^{3}{\frac {d^{2}b_{\frac {1}{2}}^{(1)}}{d\alpha ^{2}}}=&{\frac {{\frac {3}{2}}\alpha ^{2}b_{-{\frac {1}{2}}}^{(0)}+3\alpha \left(1+\alpha ^{2}\right)b_{-{\frac {1}{2}}}^{(1)}}{\left(1-\alpha ^{2}\right)^{2}}}.\end{aligned}}$

Soit maintenant $\mathrm {T}$ la durée d’une année julienne, $n\mathrm {T}$ sera le moyen mouvement du satellite $m$ dans cet intervalle ; multiplions l’équation précédente entre $h$ et $h'$ par $n\mathrm {T} ,$ et supposons $g\mathrm {T} =f,$ en sorte que $f$ soit le mouvement de l’aphélie durant une année julienne ; supposons encore

${\begin{aligned}(0)=&{\frac {\rho -{\frac {1}{2}}\varphi }{a^{2}}}n\mathrm {T} ,\\(0,1)=&-{\frac {3m'n\mathrm {T} }{4}}{\frac {\alpha ^{2}b_{-{\frac {1}{2}}}^{(1)}}{\left(1-\alpha ^{2}\right)^{2}}},\\{\begin{array}{|c|}\hline 0,\ 1\\\hline \end{array}}=&-{\frac {3m'n\mathrm {T} }{2}}{\frac {{\frac {\alpha ^{2}}{2}}b_{-{\frac {1}{2}}}^{(0)}+\alpha \left(1+\alpha ^{2}\right)b_{-{\frac {1}{2}}}^{(1)}}{\left(1-\alpha ^{2}\right)^{2}}}\,;\end{aligned}}$

l’équation entre $h$ et $h'$ prendra cette forme très simple

$0=h\left[f-(0)-(0,1)\right]+{\begin{array}{|c|}\hline 0,\ 1\\\hline \end{array}}h'.$

Il est visible que les actions des satellites $m'',m'''$ sur $m$ ajoutent au second membre de cette équation des termes analogues à ceux que produit l’action de $m'.$ Soient donc $(0,2)$ et ${\begin{array}{|c|}\hline 0,\ 2\\\hline \end{array}}$ ce que deviennent $(0,1)$ et ${\begin{array}{|c|}\hline 0,\ 1\\\hline \end{array}}$ lorsque l’on y change $m'$ et $a'$ dans $m''$ et $a''\,;$ soient pareillement $(0,3)$ et ${\begin{array}{|c|}\hline 0,\ 3\\\hline \end{array}}$ ce que deviennent les mêmes quantités lorsque l’on y change $m'$ et $a'$ dans $m'''$ et $a'''\,;$ enfin nommons $h''$ et $h'''$ ce que devient $h$ relativement à $m''$ et $m'''\,;$ on aura, en vertu des actions réunies de Jupiter et des satellites,

$0=h\left[f-(0)-(0,1)-(0,2)-(0,3)\right]+{\begin{array}{|c|}\hline 0,\ 1\\\hline \end{array}}h'+{\begin{array}{|c|}\hline 0,\ 2\\\hline \end{array}}h''+{\begin{array}{|c|}\hline 0,\ 3\\\hline \end{array}}h'''.$

L’action du Soleil sur le satellite $m$ ajoute encore un terme au second