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THÉORIE DES SATELLITES DE JUPITER.

$b_{s+1}^{(0)},$ lorsque $b_{s}^{(0)}$ et $b_{s}^{(1)}$ seront connus. On a ensuite

${\frac {db_{s}^{(i)}}{d\alpha }}={\frac {i+(i+2s)\alpha ^{2}}{\alpha \left(1-\alpha ^{2}\right)}}b_{s}^{(i)}-{\frac {2(i-s+1)}{1-\alpha ^{2}}}b_{s}^{(i+1)}.$

Cette équation différenciée donnera les différences secondes de $b_{s}^{(i)}.$ Il ne s’agit donc que de déterminer $b_{s}^{(0)}$ et $b_{s}^{(1)}.$

Dans la théorie des satellites, $s={\frac {1}{2}},$ et l’on aura de cette manière les valeurs de $b_{\frac {1}{2}}^{(0)}$ et de $b_{\frac {1}{2}}^{(1)}.$ On déterminera d’abord les quantités $b_{-{\frac {1}{2}}}^{(0)}$ et de $b_{-{\frac {1}{2}}}^{(1)}.$ au moyen des suites

${\begin{aligned}b_{-{\frac {1}{2}}}^{(0)}=&2\left[1+\left({\frac {1}{2}}\right)^{2}\alpha ^{2}+\left({\frac {1.1}{2.4}}\right)^{2}\alpha ^{4}+\left({\frac {1.1.3}{2.4.6}}\right)^{2}\alpha ^{6}+\left({\frac {1.1.3.5}{2.4.6.8}}\right)^{2}\alpha ^{8}+\ldots \right],\\b_{-{\frac {1}{2}}}^{(1)}=&-2\alpha \left[{\frac {1}{2}}-{\frac {1}{2}}{\frac {1.1}{2.4}}\alpha ^{2}-{\frac {1.1}{2.4}}{\frac {1.1.3}{2.4.6}}\alpha ^{4}-{\frac {1.1.3}{2.4.6}}{\frac {1.1.3.5}{2.4.6.8}}\alpha ^{6}-\ldots \right].\end{aligned}}$

Ces deux suites sont fort convergentes, et il suffit dans tous les cas d’en prendre les dix ou onze premiers termes. Lorsque l’on aura ainsi déterminé $b_{-{\frac {1}{2}}}^{(0)}$ et $b_{-{\frac {1}{2}}}^{(1)},$ on aura $b_{\frac {1}{2}}^{(0)}$ et $b_{\frac {1}{2}}^{(1)},$ au moyen des formules

${\begin{aligned}b_{\frac {1}{2}}^{(0)}=&{\frac {\left(1+\alpha ^{2}\right)b_{-{\frac {1}{2}}}^{(0)}+6\alpha b_{-{\frac {1}{2}}}^{(1)}}{\left(1-\alpha ^{2}\right)^{2}}},\\b_{\frac {1}{2}}^{(1)}=&{\frac {2\alpha b_{-{\frac {1}{2}}}^{(0)}+3\left(1+\alpha ^{2}\right)b_{-{\frac {1}{2}}}^{(1)}}{\left(1-\alpha ^{2}\right)^{2}}}.\end{aligned}}$

Maintenant, on a généralement

$a\mathrm {B} ^{(i)}=\alpha b_{\frac {1}{2}}^{(i)},\quad a^{2}{\frac {\partial \mathrm {B} ^{(i)}}{\partial a}}=\alpha ^{2}{\frac {db_{\frac {1}{2}}^{(i)}}{d\alpha }},\quad a^{3}{\frac {\partial ^{2}\mathrm {B} ^{(i)}}{\partial a^{2}}}=\alpha ^{3}{\frac {d^{2}b_{\frac {1}{2}}^{(i)}}{d\alpha ^{2}}},\quad \ldots .$

Quant aux différences partielles de $\mathrm {B} ^{(i)}$ prises relativement à $a',$ on observera que $\mathrm {B} ^{(i)}$ est une fonction homogène de $a$ et de $a'$ de la dimension $-1\,;$ or on a, par la nature de ce genre de fonctions,

$a'{\frac {\partial \mathrm {B} ^{(i)}}{\partial a'}}=-\mathrm {B} ^{(i)}-a{\frac {\partial \mathrm {B} ^{(i)}}{\partial a}},$

d’où il est aisé de conclure les valeurs de $aa'{\frac {\partial ^{2}\mathrm {B} ^{(i)}}{\partial a\partial a'}},\ a'^{2}{\frac {\partial ^{2}\mathrm {B} ^{(i)}}{\partial a'^{2}}},\ldots \,;$ on