Page:Laplace - Œuvres complètes, Gauthier-Villars, 1878, tome 11.djvu/343

Le texte de cette page a été corrigé et est conforme au fac-similé.

329

THÉORIE DES SATELLITES DE JUPITER.

Enfin, dans les éclipses du troisième satellite, à l’instant de la conjonction moyenne, $n''t$ est nul ou multiple de $360^{\circ }\,;$ on aura donc alors, en vertu de l’équation $n-2n'=n'-2n'',$

\delta v''=({\text{ııı}})\cos \omega t.

On voit ainsi que les valeurs de $\delta v,\delta v'$ et $\delta v'',$ dans les éclipses des satellites, dépendent du même angle $\omega t.$ La période de ces valeurs est, par conséquent, la même et égale à la durée de la révolution synodique du premier satellite, multipliée par ${\frac {n}{n-2n'}},nt$ et $n't$ étant ici les moyens mouvements synodiques des deux premiers satellites. En substituant pour $n$ et $n'$ leurs valeurs, on trouve que cette période est de $437^{\mathrm {j} }15^{\mathrm {h} }12^{\mathrm {m} }.$ Tous ces résultats sont parfaitement conformes aux observations qui ont fait reconnaître les inégalités précédentes, avant qu’elles aient été indiquées par la théorie.

VI.

La détermination des inégalités précédentes n’a de difficulté que celle de la formation des quantités $\mathrm {B^{(0)},B^{(1)},B^{(2)}} ,\ldots$ et de leurs différences. J’ai donné des formules pour cet objet dans les Mémoires de l’Académie pour l’année 1785, pages 64 et suivantes ^[1] ; je vais rappeler ici les principales.

Soit ${\frac {a}{a'}}=\alpha ,$ et supposons que l’on ait

\left(1-2\alpha \cos \theta +\alpha ^{2}\right)^{-s}={\frac {1}{2}}b_{s}^{(0)}+b_{s}^{(1)}\cos \theta +b_{s}^{(2)}\cos 2\theta +b_{s}^{(3)}\cos 3\theta +\ldots ,

on aura généralement

{\begin{aligned}b_{s}^{(i)}\ \ =&{\frac {(i-1)\left(1+\alpha ^{2}\right)b_{s}^{(i-1)}-(i+s-2)\alpha b_{s}^{(i-2)}}{(i-s)^{\alpha }}},\\b_{s+1}^{(i)}=&{\frac {{\cfrac {i+s}{s}}\left(1+\alpha ^{2}\right)b_{s}^{(i)}-{\cfrac {2(i-s+1)}{s}}\alpha b_{s}^{(i+1)}}{\left(1-\alpha ^{2}\right)^{2}}}.\end{aligned}}

On pourra, au moyen de ces formules, déterminer $b_{s}^{(2)},b_{s}^{(3)},\ldots ,$

↑ Ci-dessus, p. 124 et suivantes.

[1] Ci-dessus, p. 124 et suivantes.

[1]