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THÉORIE DES SATELLITES DE JUPITER.

L’expression de $\mathrm {R}$ de l’article I deviendra ainsi, en négligeant les termes multipliés par ${\frac {m'\left(\rho -{\frac {1}{2}}\varphi \right)}{r'^{3}}},\ {\frac {m''\left(\rho -{\frac {1}{2}}\varphi \right)}{r''^{3}}},\ {\frac {m'''\left(\rho -{\frac {1}{2}}\varphi \right)}{r'''^{3}}}$ et ${\frac {\mathrm {S} r\left(\rho -{\frac {1}{2}}\varphi \right)}{\mathrm {D} ^{4}}}$ comme étant insensibles à cause de la petitesse de $\rho -{\frac {1}{2}}\varphi ,$

${\begin{aligned}\mathrm {R} =&-{\frac {(1+m)\left(\rho -{\frac {1}{2}}\varphi \right)}{3r^{3}}}+{\frac {m'r}{r'^{2}}}\cos(v'-v)\\&+{\frac {m''r}{r''^{2}}}\cos(v''-v)+{\frac {m'''r}{r'''^{2}}}\cos(v'''-v)+{\frac {\mathrm {S} r}{\mathrm {D} ^{2}}}\cos(\Pi -v)\\&-{\frac {m'}{\sqrt {r^{2}-2rr'\cos(v'-v)+r'^{2}}}}\quad -{\frac {m''}{\sqrt {r^{2}-2rr''\cos(v''-v)+r''^{2}}}}\\&-{\frac {m'''}{\sqrt {r^{2}-2rr'''\cos(v'''-v)+r'''^{2}}}}-{\frac {\mathrm {S} }{\sqrt {r^{2}-2r\mathrm {D} \cos(\Pi -v)+\mathrm {D} ^{2}}}}.\end{aligned}}$

IV.

Des inégalités des mouvements des satellites, indépendantes
des excentricités et des inclinaisons des orbites.

Reprenons maintenant l’équation différentielle (1) de l’article II

(1)

$0={\frac {d^{2}(r\delta r)}{dt^{2}}}+{\frac {(1+m)r\delta r}{r^{3}}}+2\int \operatorname {d} \mathrm {R} +r{\frac {\partial \mathrm {R} }{\partial r}}.$

Son intégration introduira deux constantes arbitraires qui rentrent dans celles du mouvement elliptique et auxquelles on peut, par cette raison, se dispenser d’avoir égard. Cependant l’excentricité de l’orbite étant fort petite, on pourra faire usage de cette équation différentielle pour déterminer la partie elliptique du rayon vecteur qui en dépend ; mais alors il faut conserver tous les termes dans lesquels r\delta r est multiplié par des constantes dépendantes même des forces perturbatrices, parce que ces termes déterminent le mouvement de l’aphélie.

Si l’on néglige le carré de l’excentricité de l’orbite, la partie constante du rayon $r$ se réduit, dans l’hypothèse elliptique, au demi grand axe $a.$ Soit $\delta a$ le terme constant que les forces perturbatrices ajoutent au rayon $r,$ l’équation précédente deviendra ainsi

$0={\frac {d^{2}(r\delta r)}{dt^{2}}}+{\frac {1+m}{a^{3}}}\left(1-{\frac {3\delta a}{a}}\right)r\delta r+2\int \operatorname {d} \mathrm {R} +r{\frac {\partial \mathrm {R} }{\partial r}}.$