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THÉORIE DES SATELLITES DE JUPITER.

${\sqrt {1-\mu ^{2}}}\sin \varpi$ et ${\sqrt {1-\mu ^{2}}}\cos \varpi ,$ assujettie à l’équation aux différences partielles

$0={\frac {\partial }{\partial \mu }}\left[\left(1-\mu ^{2}\right){\frac {\partial \mathrm {Y} ^{(i)}}{\partial \mu }}\right]+{\frac {\cfrac {\partial ^{2}\mathrm {Y} ^{(i)}}{\partial \varpi ^{2}}}{1-\mu ^{2}}}+i(i+1)\mathrm {Y} ^{(i)}$

(Mémoires de l’Académie pour l’année 1783, p. 28) ^[1]. On aura ensuite

$\mathrm {V} +{\frac {1}{r}}={\frac {1}{r}}+{\frac {\mathrm {Y} ^{(2)}+{\cfrac {1}{2}}\varphi \left(\mu ^{2}-{\cfrac {1}{3}}\right)}{r^{3}}}+{\frac {\mathrm {Y} ^{(3)}}{r^{4}}}+{\frac {\mathrm {Y} ^{(4)}}{r^{5}}}+\ldots ,$

$\varphi$ étant le rapport de la force centrifuge à l’attraction de Jupiter sur l’équateur de cette planète (Mémoires de l’Académie pour l’année 1782, p. 153 et 181) ^[2], partant

$\mathrm {V} ={\frac {\mathrm {Y} ^{(2)}+{\cfrac {1}{2}}\varphi \left(\mu ^{2}-{\cfrac {1}{3}}\right)}{r^{3}}}+{\frac {\mathrm {Y} ^{(3)}}{r^{4}}}+{\frac {\mathrm {Y} ^{(4)}}{r^{5}}}+\ldots .$

Cette valeur de $\mathrm {V}$ se réduit à fort peu près à son premier terme, si $r$ est un peu considérable relativement au rayon du sphéroïde de Jupiter. D’ailleurs, si cette planète est un ellipsoïde de révolution, comme il est naturel de le supposer, on a $\mathrm {Y} ^{(3)}=0,\ \mathrm {Y} ^{(4)}=0,\ldots ,$ ce qui rend exacte la réduction de $\mathrm {V}$ à son premier terme ; on peut donc, même relativement au premier satellite, supposer

$\mathrm {V} ={\frac {\mathrm {Y} ^{(2)}+{\cfrac {1}{2}}\varphi \left(\mu ^{2}-{\cfrac {1}{3}}\right)}{r^{3}}}.$

La fonction $\mathrm {Y} ^{(2)}$ se réduit par les conditions de l’équilibre à cette forme

$-\rho \left(\mu ^{2}-{\frac {1}{3}}\right)+\mathrm {H} \left(1-\mu ^{2}\right)\cos 2\varpi$

(Mémoires de l’Académie pour l’année 1783, p. 30) ^[3]. Si Jupiter est un solide de révolution, $\mathrm {H}$ est nul ; mais, dans les cas où cette quantité serait comparable à $\rho ,$ il est facile de s’assurer que son influence sur les mouvements des satellites de Jupiter est insensible, à cause de la

1. Ci-dessus, p. 13.
2. Œuvres de Laplace, t. X, p. 382 et 407.
3. Ci-dessus, p. 16.