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THÉORIE DES SATELLITES DE JUPITER.

Soit $nt$ le moyen mouvement du satellite ; on a, par la théorie du mouvement elliptique,

$n^{2}={\frac {1+m}{a^{3}}},$

d’où l’on tire

${\sqrt {(1+m)a\left(1-e^{2}\right)}}=na^{2}{\sqrt {1-e^{2}}}.$

On a ensuite, à fort peu près, $n^{2}a^{3}=1\,;$ on aura donc, en intégrant l’équation précédente,

$\delta v={\frac {{\cfrac {2rd\delta r+dr\delta r}{a^{2}ndt}}+3a\int ndt\int \operatorname {d} \mathrm {R} +2a\int ndt\left(x{\cfrac {\partial \mathrm {R} }{\partial x}}+y{\cfrac {\partial \mathrm {R} }{\partial y}}+z{\cfrac {\partial \mathrm {R} }{\partial z}}\right)}{\sqrt {1-e^{2}}}}.$

Si l’on prend pour le plan des coordonnées $x$ et $y$ celui de l’orbite primitive de $m,\ z$ sera de l’ordre des forces perturbatrices ; ainsi, en négligeant le carré de ces forces, on pourra faire $z=0$ dans tous les termes dépendants de $\mathrm {R} .$ Si l’on nomme ensuite $v$ l’angle que fait le rayon $r$ avec l’axe des $x,$ on aura

$x=r\cos v,\qquad y=r\sin v\,;$

mais on a

$\operatorname {d} \mathrm {R} =dx{\frac {\partial \mathrm {R} }{\partial x}}+dy{\frac {\partial \mathrm {R} }{\partial y}}.$

En substituant pour $x$ et $y$ leurs valeurs précédentes, on aura

$\operatorname {d} \mathrm {R} ={\frac {dr}{r}}\left(x{\frac {\partial \mathrm {R} }{\partial x}}+y{\frac {\partial \mathrm {R} }{\partial y}}\right)+dv\left(x{\frac {\partial \mathrm {R} }{\partial y}}-y{\frac {\partial \mathrm {R} }{\partial x}}\right)\,;$

on a ensuite

$\operatorname {d} \mathrm {R} =dr{\frac {\partial \mathrm {R} }{\partial r}}+dv{\frac {\partial \mathrm {R} }{\partial v}}\,;$

on aura donc, en comparant ces deux valeurs de $\operatorname {d} \mathrm {R} ,$

$x{\frac {\partial \mathrm {R} }{\partial x}}+y{\frac {\partial \mathrm {R} }{\partial y}}=r{\frac {\partial \mathrm {R} }{\partial r}}.$

L’équation différentielle en $r\delta r$ et l’expression précédente de $\delta v$ devien-