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THÉORIE DES SATELLITES DE JUPITER.

on aura donc

$0={\frac {rd^{2}r-r^{2}dv^{2}}{dt^{2}}}+{\frac {1+m}{r}}+x{\frac {\partial \mathrm {R} }{\partial x}}+y{\frac {\partial \mathrm {R} }{\partial y}}+z{\frac {\partial \mathrm {R} }{\partial z}}.$

Dans le cas du mouvement elliptique où $\mathrm {R}$ est nul, cette équation devient

$0={\frac {rd^{2}r-r^{2}dv^{2}}{dt^{2}}}+{\frac {1+m}{r}}.$

Supposons que $\mathrm {R}$ augmente $r$ et $v$ des quantités $\delta r$ et $\delta v,$on aura, en négligeant les carrés et les produits de $\delta r$ et de $\delta v,$

${\begin{aligned}0=&{\frac {rd^{2}\delta r+\delta rd^{2}r-2r^{2}dvd\delta v-2rdv^{2}\delta r}{dt^{2}}}\\&-{\frac {(1+m)r\delta r}{r^{3}}}+x{\frac {\partial \mathrm {R} }{\partial x}}+y{\frac {\partial \mathrm {R} }{\partial y}}+z{\frac {\partial \mathrm {R} }{\partial z}}.\end{aligned}}$

On a, dans l’hypothèse elliptique,

$r^{2}dv=dt{\sqrt {(1+m)a\left(1-e^{2}\right)}},$

$a$ étant le demi grand axe de l’ellipse et se son excentricité ; on a de plus, par ce qui précède, lorsque $\mathrm {R}$ est nul,

${\frac {rdv^{2}}{dt^{2}}}={\frac {d^{2}r}{dt^{2}}}+{\frac {1+m}{r^{2}}}.$

L’équation différentielle précédente donnera ainsi

${\begin{aligned}{\frac {2d\delta v}{dt}}{\sqrt {(1+m)a\left(1-e^{2}\right)}}=&{\frac {rd^{2}\delta r-\delta rd^{2}r}{dt^{2}}}\\&-3{\frac {(1+m)r\delta r}{r^{3}}}+x{\frac {\partial \mathrm {R} }{\partial x}}+y{\frac {\partial \mathrm {R} }{\partial y}}+z{\frac {\partial \mathrm {R} }{\partial z}}.\end{aligned}}$

Si l’on substitue dans cette équation, au lieu de ${\frac {(1+m)r\delta r}{r^{3}}},$ sa valeur donnée par l’équation différentielle trouvée ci-dessus en $r\delta r,$ on aura

${\begin{aligned}{\frac {2d\delta v}{dt}}{\sqrt {(1+m)a\left(1-e^{2}\right)}}=&{\frac {rd^{2}\delta r-\delta rd^{2}r}{dt^{2}}}+3{\frac {d^{2}(r\delta r)}{dt^{2}}}\\&+6\int \operatorname {d} \mathrm {R} +4\left(x{\frac {\partial \mathrm {R} }{\partial x}}+y{\frac {\partial \mathrm {R} }{\partial y}}+z{\frac {\partial \mathrm {R} }{\partial z}}\right).\end{aligned}}$