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THÉORIE DES SATELLITES DE JUPITER.

sous cette forme $\operatorname {d} \mathrm {R} ,$ la caractéristique différentielle $\operatorname {d}$ ne se rapportant qu’aux coordonnées $x,y,z$ du satellite $m\,;$ on aura donc, en intégrant l’équation précédente,

$0={\frac {dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}}{dt^{2}}}-2{\frac {1+m}{r}}+{\frac {1+m}{a}}+2\int \operatorname {d} \mathrm {R} ,$

${\frac {1+m}{a}}$ étant une constante arbitraire.

Si l’on multiplie la première des équations (A) par $x,$ la seconde par $y,$ la troisième par $z$ et que l’on ajoute leur somme à l’intégrale précédente ; si l’on observe ensuite que

$xd^{2}x+yd^{2}y+zd^{2}z+dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}={\frac {1}{2}}d^{2}r^{2},$

on aura

$0={\frac {d^{2}r^{2}}{dt^{2}}}-2{\frac {1+m}{r}}+2{\frac {1+m}{a}}+4\int \operatorname {d} \mathrm {R} +2\left(x{\frac {\partial \mathrm {R} }{\partial x}}+y{\frac {\partial \mathrm {R} }{\partial y}}+z{\frac {\partial \mathrm {R} }{\partial z}}\right).$

En supposant $\mathrm {R} =0$ dans cette équation, on aura la valeur de $r$ lorsque l’on fait abstraction de la figure de Jupiter et de l’action du Soleil et des satellites. Dans ce cas, on sait que l’orbite est une ellipse dont $a$ est le demi grand axe. Soit $\delta r$ la variation de $r$ due à ce que $\mathrm {R}$ n’est pas nul, l’équation précédente donnera, en négligeant le carré de $\delta r,$

$0={\frac {d^{2}(r\delta r)}{dt^{2}}}+{\frac {(1+m)r\delta r}{r^{3}}}+2\int \operatorname {d} \mathrm {R} +x{\frac {\partial \mathrm {R} }{\partial x}}+y{\frac {\partial \mathrm {R} }{\partial y}}+z{\frac {\partial \mathrm {R} }{\partial z}}.$

Les équations (A) étant multipliées respectivement par $x,y,z$ et étant ensuite ajoutées donnent

$0={\frac {xd^{2}x+yd^{2}y+zd^{2}z}{dt^{2}}}+{\frac {1+m}{r}}+x{\frac {\partial \mathrm {R} }{\partial x}}+y{\frac {\partial \mathrm {R} }{\partial y}}+z{\frac {\partial \mathrm {R} }{\partial z}}.$

Si l’on nomme $dv$ l’angle infiniment petit intercepté entre les deux rayons vecteurs $r$ et $r+dr,$ on a

${\begin{aligned}dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}a=&dr^{2}+r^{2}dv^{2},\\xd^{2}x+yd^{2}y+zd^{2}z=&rd^{2}r-r^{2}dv^{2}\,;\end{aligned}}$