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THÉORIE DES SATELLITES DE JUPITER.

donc

$-m\left({\frac {\partial \mathrm {V} }{\partial x}}-{\frac {x}{r^{3}}}\right)$

pour la force dont le centre de gravité de Jupiter est sollicité parallèlement à l’axe des $x,$ en vertu de l’action de $m.$ Si dans cette quantité on marque successivement d’un trait, de deux traits et de trois traits les lettres $m,\mathrm {V} ,x$ et $r,$ on aura les forces parallèles aux $x$ dont ce centre est animé par les attractions de $m',m'',m'''.$ Enfin la force parallèle aux $x,$ dont il est animé par l’action du Soleil, est

$-\mathrm {S\left({\frac {\partial U}{\partial X}}-{\frac {X}{D^{3}}}\right)} .$

Si l’on retranche la somme de toutes ces forces qui sollicitent le centre de Jupiter de la force

${\frac {\partial \mathrm {V} }{\partial x}}-{\frac {x}{r^{3}}}+{\frac {\partial \lambda }{\partial x}},$

on aura la force entière dont le satellite $m$ est animé parallèlement à l’axe des $x,$ dans son mouvement relatif autour de Jupiter. Cette force doit, par les principes de Dynamique, être égale à ${\frac {d^{2}x}{dt^{2}}},\ dt$ étant l’élément du temps que nous supposons constant ; on aura donc

${\begin{aligned}&0={\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}+(1+m)\left({\frac {x}{r^{3}}}-{\frac {\partial \mathrm {V} }{\partial x}}\right)+m'\left({\frac {x'}{r'^{3}}}-{\frac {\partial \mathrm {V} '}{\partial x'}}\right)\\&+m''\left({\frac {x''}{r''^{3}}}-{\frac {\partial \mathrm {V} ''}{\partial x''}}\right)+m'''\left({\frac {x'''}{r'''^{3}}}-{\frac {\partial \mathrm {V} '''}{\partial x'''}}\right)+\mathrm {S\left({\frac {X}{D^{3}}}-{\frac {\partial U}{\partial X}}\right)} -{\frac {\partial \lambda }{\partial x}}.\end{aligned}}$

On trouvera de la même manière

${\begin{aligned}&0={\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}+(1+m)\left({\frac {y}{r^{3}}}-{\frac {\partial \mathrm {V} }{\partial y}}\right)+m'\left({\frac {y'}{r'^{3}}}-{\frac {\partial \mathrm {V} '}{\partial y'}}\right)\\&+m''\left({\frac {y''}{r''^{3}}}-{\frac {\partial \mathrm {V} ''}{\partial y''}}\right)+m'''\left({\frac {y'''}{r'''^{3}}}-{\frac {\partial \mathrm {V} '''}{\partial y'''}}\right)+\mathrm {S\left({\frac {Y}{D^{3}}}-{\frac {\partial U}{\partial Y}}\right)} -{\frac {\partial \lambda }{\partial y}},\\\\&0={\frac {d^{2}z}{dt^{2}}}+(1+m)\left({\frac {z}{r^{3}}}-{\frac {\partial \mathrm {V} }{\partial z}}\right)+m'\left({\frac {z'}{r'^{3}}}-{\frac {\partial \mathrm {V} '}{\partial z'}}\right)\\&+m''\left({\frac {z''}{r''^{3}}}-{\frac {\partial \mathrm {V} ''}{\partial z''}}\right)+m'''\left({\frac {z'''}{r'''^{3}}}-{\frac {\partial \mathrm {V} '''}{\partial z'''}}\right)+\mathrm {S\left({\frac {Z}{D^{3}}}-{\frac {\partial U}{\partial Z}}\right)} -{\frac {\partial \lambda }{\partial z}}.\end{aligned}}$