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MÉMOIRE SUR LES VARIATIONS SÉCULAIRES

un terme correspondant de la forme $c^{gt}\mathrm {Q} _{i},\ \mathrm {Q} _{i}$ étant encore une quantité réelle ; la fonction $p_{i}^{2}+q_{i}^{2}$ renfermera donc le terme $c^{2gt}\left(\mathrm {P} _{i}^{2}+\mathrm {Q} _{i}^{2}\right),$ et par conséquent le premier membre de l’équation

$\sum 'm_{i}{\sqrt {a_{i}}}\left(p_{i}^{2}+q_{i}^{2}\right)=\mathrm {const} .$

renfermera le terme

$\sum 'm_{i}{\sqrt {a_{i}}}\left(\mathrm {P} _{i}^{2}+\mathrm {Q} _{i}^{2}\right)c^{2gt}.$

Si l’on suppose que l’exponentielle $c^{gt}$ soit la plus grande de toutes celles que renferment les valeurs de $p_{i}$ et de $q_{i},$ il est clair que le terme précédent ne peut être détruit par aucun autre dans le premier membre de cette équation, d’où il suit que ce membre ne peut se réduire à une constante, à moins que l’on n’ait

$\sum 'm_{i}{\sqrt {a_{i}}}\left(\mathrm {P} _{i}^{2}+\mathrm {Q} _{i}^{2}\right)=0\,;$

or cela est impossible lorsque les quantités $m_{0}{\sqrt {a_{0}}},m_{1}{\sqrt {a_{1}}},\ldots$ sont toutes de même signe ou, ce qui revient au même, lorsque toutes les planètes tournent dans le même sens ; les valeurs de $p_{i}$ et de $q_{i}$ ne peuvent donc point renfermer d’exponentielles, et l’équation en me peut avoir que des racines réelles dans le cas de la nature.

Voyons présentement si cette équation peut renfermer des racines égales. Dans ce cas, la valeur de $p_{i}$ contient des termes de la forme $t^{g}\mathrm {P} _{i},\ g$ étant un nombre entier positif et $\mathrm {P} _{i}$ étant une quantité réelle. La valeur de $q_{i}$ contient un terme correspondant de la forme $t^{g}\mathrm {Q} _{i},\ \mathrm {Q} _{i}$ étant encore une quantité réelle ; la fonction $p_{i}^{2}+q_{i}^{2}$ renfermera donc le terme $t^{2g}\left(\mathrm {P} _{i}^{2}+\mathrm {Q} _{i}^{2}\right),$ et par conséquent le premier membre de l’équation

$\sum 'm_{i}{\sqrt {a_{i}}}\left(p_{i}^{2}+q_{i}^{2}\right)=\mathrm {const} .$

renfermera le terme

$\sum 'm_{i}{\sqrt {a_{i}}}t^{2g}\left(\mathrm {P} _{i}^{2}+\mathrm {Q} _{i}^{2}\right).$

Si l’on suppose que $t^{g}$ soit la plus haute puissance de $t$ qui se trouve dans les valeurs de $p_{i}s$ et de $q_{i},$ le terme précédent ne pourra être détruit par aucun autre dans le premier membre de cette équation ;