Au moyen des équations que l’on formera par les suppositions de on pourra éliminer les constantes et l’on aura une équation en du degré de plus, toutes les constantes seront données au moyen de l’une d’elles, telle que qui restera arbitraire.
Soient les racines de l’équation en on aura, par la théorie connue des équations différentielles linéaires,
Ces valeurs de et de seront complètes, puisqu’elles renfermeront les arbitraires
Maintenant, si les racines sont réelles et inégales, les valeurs de et de resteront toujours fort petites, et, comme on a
les excentricités des orbites seront toujours peu considérables. Mais il n’en est pas de même si quelques-unes de ces racines sont égales ou imaginaires, car alors les sinus et les cosinus se changent en arcs de cercle ou en exponentielles. Les excentricités des orbites cesseront donc, après un long intervalle de temps, d’être fort petites, ce qui, en changeant la constitution du système solaire, détruirait sa stabilité. Par conséquent, il importe de s’assurer que les valeurs de ne peuvent être ni égales ni imaginaires. Cette recherche paraît supposer la connaissance des masses des planètes qui entrent dans les coefficients de l’équation en mais il est très remarquable que, quelles que soient ces masses, pourvu qu’elles se meuvent toutes dans le même sens, l’équation en ne peut avoir que des racines réelles et inégales.
Pour le démontrer de la manière la plus générale, nous observerons que, dans le cas des racines imaginaires, la valeur de contient des termes de la forme étant le nombre dont le logarithme hyperbolique est l’unité et étant une quantité réelle, puisque qui est égal à est nécessairement réel. La valeur de renferme
