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MÉMOIRE SUR LES VARIATIONS SÉCULAIRES

reprends les trois équations

${\begin{aligned}\mathrm {const} .=&{\frac {m_{0}{\sqrt {a_{0}\left(1-e_{0}^{2}\right)}}}{\sqrt {1+\theta _{0}^{2}}}}\quad +{\frac {m_{1}{\sqrt {a_{1}\left(1-e_{1}^{2}\right)}}}{\sqrt {1+\theta _{1}^{2}}}},\\\mathrm {const} .=&{\frac {m_{0}h_{0}{\sqrt {a_{0}\left(1-e_{0}^{2}\right)}}}{\sqrt {1+\theta _{0}^{2}}}}+{\frac {m_{1}h_{1}{\sqrt {a_{1}\left(1-e_{1}^{2}\right)}}}{\sqrt {1+\theta _{1}^{2}}}},\\\mathrm {const} .=&{\frac {m_{0}l_{0}{\sqrt {a_{0}\left(1-e_{0}^{2}\right)}}}{\sqrt {1+\theta _{0}^{2}}}}\ \,+{\frac {m_{1}l_{1}{\sqrt {a_{1}\left(1-e_{1}^{2}\right)}}}{\sqrt {1+\theta _{1}^{2}}}},\end{aligned}}$

que j’ai trouvées dans les Mémoires cités de 1784 ^[1] et qui ont lieu, quelles que soient les excentricités et les inclinaisons des orbites. Si l’on ajoute ensemble les carrés des seconds membres de ces équations, on aura

${\begin{aligned}\mathrm {const} .=&m_{0}^{2}a_{0}\left(1-e_{0}^{2}\right)+m_{1}^{2}a_{1}\left(1-e_{1}^{2}\right)\\&+m_{0}m_{1}{\sqrt {a_{0}\left(1-e_{0}^{2}\right)}}{\sqrt {a_{1}\left(1-e_{1}^{2}\right)}}{\frac {1+h_{0}h_{1}+l_{0}l_{1}}{{\sqrt {1+\theta _{0}^{2}}}{\sqrt {1+\theta _{1}^{2}}}}}\,;\end{aligned}}$

mais $a_{0}$ et $a_{1}$ sont invariables, et dans la supposition des orbites circulaires $e_{0}$ et $e_{1}$ sont nuls ; on aura donc, dans ce cas,

${\frac {1+h_{0}h_{1}+l_{0}l_{1}}{{\sqrt {1+\theta _{0}^{2}}}{\sqrt {1+\theta _{1}^{2}}}}}=\mathrm {const} .,$

et, comme le premier membre de cette équation est le cosinus de l’inclinaison respective des deux orbites, il en résulte que cette inclinaison est constante.

IV.

Reprenons maintenant les équations (B) de l’article II. Si l’on y suppose successivement $i=0,\ i=1,\ i=2,\ldots ,i=n-1\,;$ on aura $2n$ équations différentielles linéaires du premier ordre, dont les intégrales doivent par conséquent renfermer in constantes arbitraires. Supposons

$p_{i}=\mathrm {M} _{i}\sin(ft+{\text{ϐ}}),\qquad q_{i}=\mathrm {M} _{i}\cos(ft+{\text{ϐ}}).$

En substituant ces valeurs dans les équations (B), on aura

$f\mathrm {M} _{i}=\mathrm {M} _{i}\sum (i,r)-\sum \mathrm {M} _{r}{\begin{array}{|c|}\hline i,\ r\\\hline \end{array}}.$

1. Voir plus haut, p. 69 et 70.