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DES ORBITES DES PLANÈTES.

S’il n’y a que deux planètes $m_{0}$ et $m_{1},$ les trois équations relatives aux nœuds et aux inclinaisons des orbites deviendront

${\begin{aligned}\mathrm {const} .=&m_{0}{\sqrt {a_{0}}}\left(h_{0}^{2}+l_{0}^{2}\right)+m_{1}{\sqrt {a_{1}}}\left(h_{1}^{2}+l_{1}^{2}\right),\\\mathrm {const} .=&m_{0}{\sqrt {a_{0}}}h_{0}\ \ \ +m_{1}{\sqrt {a_{1}}}h_{1},\\\mathrm {const} .=&m_{0}{\sqrt {a_{0}}}l_{0}\quad +m_{1}{\sqrt {a_{1}}}l_{1}.\end{aligned}}$

En carrant les deux dernières équations et en retranchant de leur somme la première, multipliée par le facteur

$m_{0}{\sqrt {a_{0}}}+m_{1}{\sqrt {a_{1}}},$

qui est constant, puisque les demi grands axes $a_{0}$ et $a_{1}$ sont invariables, on aura

$\mathrm {const} .=m_{0}m_{1}{\sqrt {a_{0}}}{\sqrt {a_{1}}}\left[(h_{1}-h_{0})^{2}+(l_{1}-l_{0})^{2}\right].$

Il est facile de s’assurer, par la Trigonométrie sphérique, que le cosinus de l’inclinaison respective des deux orbites est

${\frac {1+h_{0}h_{1}+l_{0}l_{1}}{{\sqrt {1+\theta _{0}^{2}}}{\sqrt {1+\theta _{1}^{2}}}}}.$

Si l’on néglige les produits de quatre dimensions de $h_{0},h_{1},l_{0},l_{1},$ ce cosinus devient

$1-{\frac {1}{2}}\left[(h_{1}-h_{0})^{2}+(l_{1}-l_{0})^{2}\right].$

En retranchant son carré de l’unité, on trouvera le carré du sinus de l’inclinaison respective des orbites égal à $(h_{1}-h_{0})^{2}+(l_{1}-l_{0})^{2}.$ Cette quantité est constante par ce qui précède ; ainsi, en vertu de l’action mutuelle des deux planètes, l’inclinaison respective de leurs orbites reste toujours la même.

Ce théorème a généralement lieu pour deux orbites circulaires, quelle que soit leur inclinaison respective ; pour le faire voir, je